Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

где в типичной ситуации число частиц фиксировано. В релятивистских квантовых теориях принцип кластерного разложения играет решающую роль в той системе рассуждений, которая делает теорию поля неизбежной. Было много попыток сформулировать релятивистски инвариантную теорию, не являющуюся локальной теорией поля. Действительно, можно построить теории, не являющиеся теориями поля, и тем не менее приводящие к лоренц-инвари- антной S-матрице для двухчастичного рассеяния 2, но все эти попытки сталкиваются с трудностями в секторах с более чем двумя частицами: либо трехчастичная S-матрица оказывается неинвариантной по отношению к лоренцовским преобразованиям, либо нарушается принцип кластерного разложения.

В этой главе мы обсудим сначала базис состояний, содержащих произвольной число бозонов и фермионов, затем определим операторы рождения и уничтожения, и наконец покажем, как использование этих операторов облегчает построение гамильтонианов, приводящих к S-матрицам, удовлетворяющим принципу кластерного разложения.

4.1. Бозоны и фермионы

Гильбертово пространство физических состояний натянуто на состояния, содержащие 0, 1, 2, ... свободных частиц. Это могут быть состояния свободных частиц, либо инили аут-состояния. Для определенности будем рассматривать ниже состояния свободных частиц

Φp1σ1n1,p2σ2n2 ,... , но все результаты будут применимы и для инили аут-состояний. Как обычно, индекс σ отмечает z-компоненты спина

(или спиральности для безмассовых частиц), а n отмечает сорт частиц.

Нам предстоит рассмотреть вопрос, который был опущен в гл. 3, а именно, установить свойства симметрии таких состояний. Насколько мы знаем, все частицы являются либо бозонами, либо фермионами. Разница между ними состоит в том, что при перестановке двух тождественных бозонов вектор состояния не изменяется, а при перестановке двух тождественных фермионов вектор состояния меняет знак. Именно,

причем верхний или нижний знак отвечает, соответственно, бозону или фермиону, а многоточием отмечены другие частицы, которые могут присутствовать в данном состоянии. Эти два случая часто называются статистикой Бозе или Ферми. В следующей главе мы увидим, что статистики Бозе или Ферми — единственно возможные случаи для частиц целого или полуцелого спина, соответственно. Однако сейчас эта информация нам не понадобится. В данной главе мы дадим нестрогое доказательство того, что все частицы должны быть либо бозонами, либо фермионами, а затем установим условия нормировки многобозонных и многофермионных состояний.

Заметим, во-первых, что если две частицы со спинами и импульсами p, σ è p′, σ′ относятся к одному сорту n, то векторы

состояний Φ. . . pσn. . . p′σ′n. . . è Φ. . . p′σ′n. . . pσn. . . представляют одно и то же

физическое состояние. Если бы это было не так, то частицы можно было бы различить по тому, в каком порядке расставлены индексы в векторе состояний, т. е. первая из указанных частиц была бы не тождественна второй. Так как два вектора состояний физически неразличимы, они должны принадлежать одному лучу, так что

ãäå αn — комплексное число, по модулю равное единице. Можно

считать эту формулу частью определения того, что мы подразумеваем под тождественными частицами.

Суть вопроса в том, чтобы решить, от чего может зависеть фазовый множитель αn. Если он зависит только от индекса сорта

частиц, то мы почти у цели. Вновь меняя местами две частицы в (4.1.2), получаем

òàê ÷òî αn2 = 1, откуда и возникают только две возможности в (4.1.1). От чего же еще может зависеть αn? Этот коэффициент мог бы

зависеть от числа и сортов других частиц в состоянии (отмечено многоточием в (4.1.1) и (4.1.2)), однако это привело бы к нежелательному результату, что симметрия векторов состояний относительно перестановки частиц здесь, на Земле, зависела бы от нали- чия частиц где-нибудь в другой части Вселенной. Подобное свойство исключается принципом кластерного разложения,

228 Глава 4. Принцип кластерного разложения

который обсуждается ниже в этой главе. Фаза an не может нетри-

виальным образом зависеть от спинов тех двух частиц, которые переставляются местами, поскольку такие зависящие от спина фазовые множители должны реализовать представление группы вращений. Однако известно, что не существует нетривиальных одномерных представлений трехмерной группы вращений, т. е. представлений в виде фазовых множителей. Фаза an могла бы

существенным образом зависеть от импульсов обмениваемых частиц, однако из требования лоренц-инвариантности следует, что an может зависеть только от скаляра p1μp2μ. Этот скаляр симметричен

относительно перестановки частиц 1 и 2, поэтому такая зависимость оставляет в силе предыдущие рассуждения, приводящие к заключению, что an2 = 1.

Логический пробел в приведенной выше аргументации состо-

ит в том, что состояния Φp1σ1n,p2σ2n,... (хотя это и не отражено

в обозначениях) могут содержать фазовый множитель, зависящий от пути в импульсном пространстве, по которому импульсы частиц получают значения p1, p2, и т. д. В этом случае двойной обмен местами пары частиц може изменить состояние на фазовый множитель, причем an2 ¹ 1. Мы увидим в гл. 9.7, что в двумерном случае

такая возможность реальна, но это невозможно в случае трех и более пространственных измерений.

Как обстоит дело с перестановкой частиц разных сортов? Если угодно, можно снять проблему, просто согласившись с самого начала помечать вектор состояния, перечисляя сначала все импульсы и спиральности фотонов, затем все имульсы и проекции спина на ось z электронов, и так далее по всей таблице элементарных частиц. Альтернативно, можно принять, что метки частиц расположены в любом порядке, и определить векторы состояний с произвольно расположенными метками частиц равными вектору состояния со стандартным образом расположенными метками, умноженному на фазовые множители, зависимость которых от перестановки частиц разных сортов может быть любой.

Чтобы иметь дело с симметриями типа изоспиновой инвариантности, которые связывают частицы разных сортов, удобно принять соглашение, обобщающее (4.1.1):

вектор состояния будет считаться симметричным по отношению к перестановке бозонов или любого бозона с любым фермионом, и антисимметричным при перестановке двух фермионов во всех

случаях, независимо от того, принадлежат ли частицы одному сорту или нет *.

Нормировка этих состояний должна быть определена в согласии с указанными условиями симметрии. Чтобы сделать запись более компактной, будем использовать метку q для обозначения всех квантовых чисел отдельной частицы: ее импульса р, z−компоненты спина (или спиральности в случае безмассовых частиц) σ è

ãäå δ(q′ − q) есть произведение всех дельта−функций и кронекеровских дельта−символов для квантовых чисел частиц:

причем знак «минус» берется в случае, если обе частицы — фермионы, а знак «плюс» — во всех остальных случаях. Очевидно, что

* На самом деле, по тем же соображениям чисто условной является симметрия или антисимметрия вектора состояния при перестановке частиц одного сорта, но разных спиральностей или третьих проекций спина. Действительно, мы с самого начала можем договориться перечислять первыми импульсы всех фотонов со спиральностью +1, затем импульсы всех фотонов со спиральностью −1, затем импульсы всех электронов с проекцией спина на

ось z, равной +1, и т. д. Мы принимаем соглашение, что вектор состояния симметричен или антисимметричен при перестановке тождественных бозонов или фермионов разных спиральностей или z-компонент спина с целью облегчить использование инвариантности относительно вращений.