Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

а из уравнения (3.8.10) вытекает, что

uN( r)* uN(s) = drs ,

так что в (3.8.11) может быть только одно значение r, при котором uN(r) ¹ 0 . В этом случае из (3.8.11) находим:

с полным фазовым сдвигом

Видно, что в интервале энергий порядка Γ вокруг значения резонансной энергии ER фазовый сдвиг δN(E) совершает скачок от значения δ0N ниже резонанса до значения δ0N + π âûøå íåãî. Êàê ìû

видели в предыдущем разделе, указанные предположения выполняются для различных двухчастичных реакций типа пион-пионного или пион-нуклонного рассеяния при энергиях ниже порога рождения дополнительных пионов. В этих случаях индекс N включает полный и орбитальный угловые моменты j, l (для пион-пионного рассеяния j = l), z-компоненту полного углового момента σ, а также полный изоспин Т и его третью проекцию t. В силу теоремы Вигнера− Эккарта фазовые сдвиги могут зависеть только от j, l и T, но не от σ

или t. В указанных каналах имеются знаменитые резонансы: в пионпионном рассеянии при энергии 770 МэВ имеется резонанс, называемый ρ, ñ j = l = 1, T = 1 è Γ = 150 МэВ ; в пион-нуклонном рассеяG-

нии при энергииG 1232 МэВ имеется резонанс, называемый , с j = , l = 1, T = и шириной Γ = 110−120 ÌýÂ.

Из формул (3.7.12) или (3.7.18) следует, что когда резонансный фазовый сдвиг проходит через значение π/2 (или нечетное кратное π/2), полное сечение достигает максимума. Нерезонансные фазовые

сдвиги обычно довольно малы, так что при энергии, близкой к ER,

когда фазовый сдвиг δl проходит через π/2, сечение σtotal имеет

острый максимум. Однако иногда случается, что нерезонансный фоновый фазовый сдвиг δ0N близок к π/2, и в этом случае, когда

фазовый сдвиг проходит через значение π в окрестности ER, â

сечении появляется узкий провал, обязанный деструктивной интерференции между резонансной и нерезонансной амплитудами. Подобные провалы впервые наблюдали в 1922 году Рамзауер и Таунсенд при изучении рассеяния электронов на атомах благородных газов.

Задачи

1. Рассмотрим теорию с сепарабельным взаимодействием, для которого

(Φβ , VΦα ) = guβ uα* ,

ãäå g − действительная константа связи, а uα − набор комплекс-

ных величин, удовлетворяющих условию

å uα 2 = 1.

α

С помощью уравнения Липпмана−Швингера (3.1.16) найди-

те явные решения для ин- и аут-состояний и постройте S-матрицу.

2. Предположим, что в реакции е+å−−рассеяния при полной энер

гии 150 ГэВ обнаружен резонанс со спином 1, причем сечение (в системе центра масс, усредненное по начальным и просуммированное по конечным спинам) упругого е+å−−рассеяния в пике резонанса равно 10−34 ñì2. Чему равна относительная вероятность распада резонансного состояния R по каналу R → e+ + e−? Чему равно полное сечение е+å−−рассеяния в пике резонанса? (При

ответе на оба вопроса не учитывайте нерезонансного фонового рассеяния.)

3. Выразите дифференциальное сечение двухчастичного рассеяния в лабораторной системе (где одна из начальных частиц покоится) через кинематические переменные и матричный элемент Mβα. (Получите формулу непосредственно, не используя

результаты, полученные в этой главе для дифференциального сечения в системе центра масс.)

4. Выведите разложение по теории возмущений (3.5.8) непосредственно из формулы (3.5.3) старой теории возмущений.

5. Можно определить состояния «стоячих волн» Ψα0 с помощью модифицированной версии уравнения Липпмана−Швингера

P

Ψα0 = Φα + Eα − H0 VΨα0 .

Покажите, что матрица

Kβα ≡ πδ(Eβ − Eα )(Φβ , VΦ0α )

эрмитова. Покажите, как можно выразить S−матрицу через K−

матрицу.

6. Выразите дифференциальные сечения упругого π+ð- è π−ð-

рассеяния через фазовые сдвиги состояний с определенными значениями полного углового момента, четности и изоспина.

7. Покажите, что состояния ΦEpjσsn, определенные формулой (3.7.5),

правильно нормированы, так что их скалярные произве-дения даются формулой (3.7.6).

Список литературы

1. Более подробно см.: Goldberger, M.L. and Watson, K.M. Collision Theory (John Wiley & Sons, New York, 1964) (имеется рус. пер.: Гольдбергер М.Л., Ватсон К. Теория рассеяния. М.: Мир, 1967); Newton, R.G. Scattering Theory of Waves and Particles, 2nd edn (Springer Verlag, New York, 1982) (имеется рус. пер. первого издания: Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1972).

1a. Lippman, B. and Schwinger, J., Phys. Rev., 79, 469 (1950).

2. Wheeler, J., Phys. Rev., 52, 1107 (1937); Heisenberg, W., Z. f. Phys., 120, 513, 673 (1943).

3. Born, M., Z. Phys., 37, 863 (1926); 38, 803 (1926).

4. Moller, C., Kgl. Danske Videnskab. Mat. Fys. Medd., 23, No. 1 (1945);

22, No. 19 (1946).

5. Rochester, G.D. and Butler, C.C., Nature, 160, 855 (1947). Истори- ческий обзор см. в статье: Rochester, G.D., in: Pions to Quarks — Particle Physics in the 1950s, ed. by L.M. Brown, M. Dresden, and L. Hoddeson (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1989).

6. Breit, G., Condon, E.U., and Present, R.S., Phys. Rev., 50, 825 (1936); Cassen, B. and Condon, E.U., Phys. Rev., 50, 846 (1936); Breit, G. and Feenberg, E., Phys. Rev., 50, 850 (1936).

7. Tuve, M.A., Heydenberg, N., and Hafstad, L.R., Phys. Rev., 50, 806 (1936).

8. Gell-Mann, M., Cal. Tech. Synchrotron Laboratory Report CTSL-20 (1961); Phys. Rev., 125, 1067 (1962); Ne'eman, Y., Nucl. Phys., 26, 222 (1961).

9. См., например: Edmonds, A.R., Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1957), Ch. 3 (где

Cj1j2 (jm; m1m2) обозначено как (j1j2jm| j1m1j2m2)) (åñòü ðóñ. ïåð.:

Эдмондс А. Угловой момент в квантовой механике. М.: Атомиздат, 1968); Rose, M.E., Elementary Theory of Angular Momentum (John Wiley & Sons, New York, 1957), Ch. 3 (где Cj1j2 (jm; m1m2) обозначено как C(j1j2j; m1m2m)).

10. Feinberg, G. and Weinberg, S., Nuovo Cimento, Serie X, 14, 571 (1959).

11. Chinowsky, W. and Steinberger, J., Phys. Rev., 95, 1561 (1954); см. также: Ferretti, B., Report of an International Conference on Fundamental Particles and Low Temperatures, Cambridge, 1946 (The Physical Society, London, 1947).

12. Lee, T.D. and Yang, C.N., Phys. Rev., 104, 254 (1956).

13. Wu, C.S. et al., Phys. Rev., 105, 1413 (1957).

14. Garwin, R., Lederman, L., and Weinrich, M., Phys. Rev., 105, 1415 (1957); Friedman, J.I. and Telegdi, V.L., Phys. Rev., 105, 1681 (1957).

15. Watson, K.M., Phys. Rev., 88, 1163 (1952).

16. Gell-Mann, M. and Pais, A., Phys. Rev., 97, 1387 (1955); см. также: Pais, A. and Piccioni, O., Phys. Rev., 100, 1487 (1955).

17. Christenson, J.H., Cronin, J.W., Fitch, V.L., and Turlay, R., Phys. Rev. Letters, 13, 138 (1964).

18. Schubert, K.R. et al., Phys. Lett., 31B, 662 (1970). В этой работе, не предполагая CPT-инвариантности, анализируются данные по распадам нейтральных каонов. Показано, что та часть CP- нарушающей амплитуды, которая сохраняет CPT и нарушает T,

имеет отличные от нуля действительную и мнимую части в пределах пяти стандартных отклонений, в то время как сохраняющая T и нарушающая CPT часть амплитуды равна нулю

в пределах одного стандартного отклонения.

19. Dalitz, R.H., Phil. Mag., 44, 1068 (1953); Fabri, E., Nuovo Cimento, 11, 479 (1954).

20. Dyson, F.J., Phys. Rev., 75, 486, 1736 (1949).

21. См. например: Schiff, L.I., Quantum Mechanics, 1st ed. (McGrow Hill, New York, 1949), Section 19 (есть рус. пер.: Шифф Л.

Квантовая механика. М.: ИЛ, 1957).

22.Впервые это было доказано в классической электродинамике. См. например: Kramers, H.A., Atti Congr. Intern. Fisici, Como, 1927. Квантово-механическое доказательство см.: Feenberg, E., Phys. Rev., 40, 40 (1932); Bohr, N., Peierls, R.E., and Placzek, G., Nature, 144, 200 (1939).

23. Более общее доказательство было дано в конце 1960-х гг. в неопубликованной работе Ч. Н. Янга и Ч.П. Янга. См. также: Aharony, A., in: Modern Developments in Thermodynamics (Wiley, New York, 1973), pp. 95-114.

24. См., например: Edmonds, A.R., Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton University Press, Princeton, 1957), Ch. 2 (есть рус. пер.: Эдмондс А. Угловой момент в квантовой механике. М.: Атомиздат, 1968); Rose, M.E., Elementary Theory of Angular Momentum (John Wiley & Sons, New York, 1957) , Appendix III; Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974, §28, 31.

25. Wigner, E.P., Gruppentheorie (Friedrich Vieweg and Sohn, Braunschweig, 1931) (есть рус. пер.: Вигнер Г. Теория групп. М.: ИЛ, 1972); Eckart, C., Rev. Mod. Phys., 2, 305 (1930).

26. Froissart, M., Phys. Rev., 49, 1053 (1961).

27. Breit, G. and Wigner, E.P., Phys. Rev., 49, 519 (1936).

28. См. например: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), Section 10.7 (есть рус. пер.: Вейнберг С.

Гравитация и космология. М.: Мир, 1974).

29. Kollath, R., Phys. Zeit., 31, 985 (1931).

4

Принцип кластерного разложения

До этого момента мы почти что не говорили о детальной структуре оператора Гамильтона Н. Этот оператор можно определить, задав все его матричные элементы между состояниями с произвольным числом частиц. Эквивалентно, как будет показано ниже, любой такой оператор можно выразить как функцию определенных операторов, уничтожающих и рождающих отдельные частицы. В гл. 1 мы видели, что такие операторы рождения

èуничтожения впервые появились на ранней стадии развития квантовой механики в схеме канонического квантования электромагнитного поля и других полей. Возник естественный формализм для теорий, в которых могут рождаться и уничтожаться как фото-

ны, так и массивные частицы, первой из которых в начале 1930-х годов стала теория β-распада Ферми.

Однако есть и более глубокая причина построения гамильтониана из операторов рождения и уничтожения, выходящая за рамки нужд квантования любой существовавшей до этого теории поля типа электродинамики и не имеющая отношения к тому, могут ли частицы реально рождаться и уничтожаться. Существенным преимуществом этого формализма является то, что если мы запишем гамильтониан как сумму произведений операторов рождения

èуничтожения с подходящими несингулярными коэффициентами, то S-матрица будет автоматически удовлетворять ключевому физическому требованию, а именно, принципу кластерного разложения 1, сводящемуся к тому, что результаты удаленных друг от друга экспериментов не коррелируют. Именно по этой причине формализм операторов рождения и уничтожения широко используется в нерелятивистской квантовой статистической механике,