236 Глава 4. Принцип кластерного разложения
U0 (Λ, α)a† (pσn)U0-1(Λ, α) = e-i(Lp)×a (Λp)0 p0
× å Ds(js) (W(Λ, p))a† (pLσn). (4.2.12)
s
АналогичноÒ можно установить, что под действием операторов С, Р и , реализующих преобразования зарядового сопряжения, пространственной инверсии и обращения времени на состояниях свободных частиц *, операторы рождения преобразуются по законам:
Ca† (pσn)C−1 = ξna† (pσnc ), |
(4.2.13) |
Pa† (pσn)P−1 = ηna† (−pσn), |
(4.2.14) |
Ta† (pσn)T−1 = ζn (−1)j − σ a† (−p −σn), |
(4.2.15) |
Как отмечалось в предыдущем разделе, хотя мы и рассматривали операторы, рождающие и уничтожающие частицы в свободном состоянии, весь формализм может быть применен к ин- и аутсостояниям. В этом случае можно ввести операторы ain è aout, действие которых на такие состояния определяется совершенно аналогично. Эти операторы подчиняются закону лоренцовских преобразований вида (4.2.12), но с заменой оператора преобразования U0(Λ,a) свободных частиц на истинный оператор лоренцовского преобразования U(Λ,a).
4.3. Кластерное разложение и связные ампдитуды
Одним из самых фундаментальных принципов физики (а, может быть, и всей науки) является утверждение, что результа-
* Мы опустилиÑ Ðиндекс Ò0 у этих операторов, так как практически во всех случаях, когда , и/или сохраняются, операторы, реализующие эти преобразования на «ин» или «аут» состояниях, совпадают с операторами, определенными аналогично на состояниях свободных частиц. Для непрерывных преобразований Лоренца это не так, и следует различать операторы U(Λ,a) è U0(Λ,a).
4.3. Кластерное разложение и связные амплитуды |
237 |
ты экспериментов, выполненных на достаточном удалении друг от друга, являются независимыми. Вероятности различных соударений, измеренные в Лаборатории им. Э. Ферми, не должны зависеть от того, какие эксперименты в это время проводятся в ЦЕРНе. Если этот принцип неверен, мы никогда не смогли бы предсказать результаты какого-либо эксперимента, не зная все про всю Вселенную.
В теории S-матрицы принцип кластерного разложения утверждает, что если многочастичные процессы a1 ® b1, a2 ® b2, ..., aN ® bN изучаются в N удаленных друг от друга лабораториях, то
элемент S-матрицы для всего процесса факторизуется. Иначе говоря *,
Sβ +β |
2 |
+...+β |
N |
,α |
1 |
+α |
2 |
+...+α |
N |
→ Sβ α |
Sβ |
α |
. . . Sβ |
N |
α |
, |
(4.3.1) |
1 |
1 1 |
2 |
2 |
N |
åñëè äëÿ âñåõ i ¹ j все частицы в состояниях ai è bi находятся на
большом пространственном удалении от всех частиц в состояниях aj è bj. Такая факторизация элементов S-матрицы обеспечит фак-
торизацию соответствующих вероятностей переходов, отвечающих нескоррелированным экспериментальным результатам.
Существует комбинаторный трюк, позволяющий более наглядно записать формулу (4.3.1).
Определим связную часть S-матрицы SβαC формулой:
SβαC = å(±)SβC1α1 SβC2α2 L. |
(4.3.2) |
PART |
Здесь сумма берется по всем различным способам разбиения частиц в состоянии a на кластеры a1, a2, ..., и частиц в состоянии b на кластеры b1, b2, ..., причем не считаются различными разбие-
ния, отличающиеся только порядком частиц внутри данного кластера или перестановкой самих кластеров. Знак + или - соответствует тому, совершается ли при перегруппировках a ¹ a1a2... è b ¹ b1b2... четное или нечетное число перестановок фермионов. Термин
связная часть соответствует обсуждаемой в следующем разделе интерпретации на языке фейнмановских диаграмм, представляющих
* Мы возвращаемся здесь к обозначениям гл. 3. Греческие буквы α è β
отвечают множеству частиц с указанием значений импульса, спина и сорта каждой частицы. Кроме того, сумма α1 + α2 + ... + αN обозначает состояние,
образованное комбинацией всех частиц в состояниях α1, α2, ..., αN (аналогично
β1 + β2 + ... + βN).
238 |
Глава 4. Принцип кластерного разложения |
|
разные вклады в ряд теории возмущений *.
Данное определение является рекуррентным. Для каждого a è b сумма в правой части (4.3.2) содержит слагаемое SβαC и сумму å¢ произведений двух и более элементов SC-матрицы с полным числом частиц в каждом состоянии aj è bj, которое меньше числа частиц в состояниях a è b:
S = SC + å R(±)SC SC . . .
βα βα β1α1 β2α2
PART
Предположим, что элементы SC-матрицы в этой сумме уже
выбраны так, что формула (4.3.2) удовлетворяется для состояний b, a, содержащих вместе меньше, чем, скажем, N частиц. Тогда, независимо от того, какие значения элементов S-матрицы в сумме å¢ получены таким способом, всегда можно выбрать оставшееся слагаемое SβαC так, чтобы формула (4.3.2) выполнялась для состояний a, b, содержащих всего N частиц **. Таким образом,
* Это разложение было использовано Урселлом, Майером и др. в классической статистической механике, и Ли, Янгом и др. 3 в квантовой статистической механике. Кроме того, Голдстоун 4 и Гугенгольц 5 применяли его для вычисления энергий многочастичных основных состояний. Во всех этих приложениях целью выделения связных частей функций Грина, функций распределения, резольвент и т. п. является желание иметь дело с объектами, простым образом зависящими от объема. Эта цель совпадает и с нашей, поскольку ниже будет показано, что ключевым свойством связных частей S−матрицы является то, что они пропорциональны единственной
дельта-функции сохранения импульса, а в ящике дельта-функция превращается в кронекеровский дельта-символ, умноженный на объем. Формально кластерное разложение похоже на то, которое используется в теории шума 6 для разложения корреляционнойфункциинесколькихслучайныхпеременныхна«кумулянты».Еслислу- чайная переменная получает вклады от большого числа N независимых флуктуаций, то каждый кумулянт пропорционален N.
** Следует отметить техническую деталь. Рассуждение верно только в том слу- чае, когда мы пренебрегаем возможностью, что для одного или более связных элементов S−матрицы в (4.3.2) состояния αj è βj оба вообще не содержат частиц.
Поэтому мы должны определить связный элемент между состояниями вакуума S0C,0 равным нулю. Мы не используем формулу (4.3.2) для матричного элемента S−матрицы между состояниями вакуума S0,0, который в отсутствие меняющихся
во времени внешних полей просто определяется равным единице, S0,0 = 1. Мы расскажем несколько больше об амплитудах перехода вакуум−вакуум во внешних
полях в т. II.