Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

r =1

где знаки +1 или −1 берутся, соответственно, для бозонов или

фермионов.

(Вот доказательство. Мы намерены вычислить скалярное про-

Теперь воспользуемся формулой (4.1.7). Сумма по перестановкам Р чисел 1, 2, ..., N может быть записана как сумма по целому числу r, которое переставляется на первое место, т. е. Pr = 1, и по отображениям P остальных целых чисел 1, ..., r −1, r + 1, ..., N â 1, ..., N – 1.

Далее, знаковый множитель равен

δP = (±)r −1δP ,

где верхний и нижний знаки относятся соответственно к бозонам и фермионам. Отсюда, второй раз используя (4.1.7), получаем:

r =1

Таким образом, обе части (4.2.3) имеют одинаковый матричный элемент с любым состоянием, и поэтому равны друг другу, что и требовалось доказать.)

Как частный случай (4.2.3), отметим, что и для бозонов, и для фермионов оператор a(q), действуя на вакуум, дает нуль:

Так определенные операторы рождения и уничтожения удовлетворяют важным соотношениям коммутации или антикоммутации. Применяя оператор a(q′) к состоянию (4.2.1) и используя (4.2.3),

получаем:

r =1

(Знак во втором слагаемом равен (±)r+2, òàê êàê qr находится на

(r+1)-м месте в Φqq1 ...qN .) С другой стороны, применяя оператор a†(q)

к (4.2.3), находим:

Вычитая или складывая, получаем

Но это верно для всех состояний (и, как нетрудно показать, верно также для состояний, содержащих и бозоны, и фермионы). Поэтому отсюда вытекает операторное соотношение

Как всегда, верхний и нижний знаки относятся к бозонам и фермионам, соответственно. Согласно обсуждавшимся в предыдущем разделе условиям, операторы рождения и/или уничтожения для

частиц двух разных сортов коммутируют, если частицы — бозоны, и антикоммутируют, если обе частицы — фермионы.

Приведенные рассуждения можно воспроизвести в обратном порядке (и в большинстве учебников именно так и делается). Иными словами, можно было бы начать с коммутационных или антикоммутационных соотношений (4.2.5)−(4.2.7), выведенных путем канониче-

ского квантования некоторой полевой теории. Затем следовало бы с помощью (4.2.2) определить многочастичные состояния и из соотношений коммутации или антикоммутации вычислить их скалярные произведения (4.1.7). В сущности, как обсуждалось в гл. 1, такой подход был бы значительно ближе к тому, по которому историче- ски развивался этот формализм. Мы следуем не по историческому пути, так как хотим быть свободными от любой зависимости от существовавших до этого теорий поля и стремимся понять, почему эти теории такие, какие они есть.

Докажем теперь фундаментальную теорему, сформулированную в начале этой главы: любой оператор О можно представить как сумму произведений операторов рождения и уничтожения:

Иными словами, мы хотим показать, что можно выбрать коэффициенты CNM так, чтобы матричные элементы этого выражения приняли бы любое желаемое значение. Докажем это по индукции. Во-первых, тривиально доказывается, что при должном выборе С00 можно придать матричному элементу (Φ0,O Φ0) любое значение,

независимо от значений CNM при N > 0 и/или M > 0. Для этого нужно только воспользоваться формулой (4.2.4) и убедиться, что среднее по вакууму от (4.2.8) равно

(Φ0 , O Φ0 ) = C00 .

Предположим теперь, что это же верно для всех матричных элементов О между N−частичными и M−частичными состояниями с N < L, M ≤ K èëè N ≤ L, M < K. Иначе говоря, эти матричные

элементы получают определенные желаемые значения путем подходящего выбора соответствующих коэффициентов CNM. Чтобы показать, что это же верно для матричных элементов О между любыми L−частичными и K−частичными состояниями, используем

(4.2.8) для вычисления матричного элемента

+ слагаемые, содержащие CNM ñ N < L, M ≤ K, ëèáî N ≤ L, M < K.

Какие бы значения не имели коэффициенты CNM ñ N < L, M ≤ K èëè N ≤ L, M < K, ясно, что при определенном выборе CLK ýòîò

матричный элемент может принять любое значение.

Конечно, оператор не обязательно должен иметь вид (4.2.8), где все операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения. (Часто говорят, что в этом случае операторы записаны в нормальном порядке.) Однако, если в формуле для разложения какого-то оператора по операторам рождения и уничтожения они записаны в каком-то ином порядке, можно всегда с помощью многократного использования соотношений коммутации или антикоммутации перетащить операторы рождения налево от операторов уничтожения, приобретая за счет этого новые слагаемые от дельта-функции в (4.2.5).

Рассмотрим, например, аддитивный оператор Φ любого типа

(импульс, заряд и т. п.), для которого

Такой оператор можно записать в виде (4.2.8), используя только одно слагаемое с N = M = 1:

В частности, гамильтониан свободных частиц всегда имеет вид:

где E(q) — энергия отдельной частицы:

E(p, σ, n) = p2 + m2n .

Нам потребуются свойства преобразования операторов рождения и уничтожения по отношению к различным симметриям. Во-пер- вых, рассмотрим неоднородные собственные ортохронные преобразования Лоренца. Напомним, что под действием лоренцовских преобразований N-частичные состояния преобразуются по закону:

Здесь pΛ — трехмерная часть Lp, Ds(js) (R) — то же самое унитар-

ное представление со спином j трехмерной группы вращений, которое использовалось в разделе 2.5, а W(L, p) — специальное

вращение

W(Λ, p) ≡ L−1(Λp)ΛL(p),

где L(p) — стандартный «буст», переводящий частицу массой m из системы, где она покоится, в систему, где она имеет 4-импульс pμ.

(Конечно, m и j зависят от индекса сорта частиц n. Все это относится к случаю m ¹ 0; безмассовые частицы мы обсудим в следующей

главе.) Эти состояния можно записать, как в (4.2.2), в виде

Φp1s1n1 ,p2s2n2 ,... = a† (p1σ1n1)a† (p2σ2n2 ). . . Φ0 ,

ãäå F0 — лоренц-инвариантное вакуумное состояние,

U0 (Λ, α)Φ0 = Φ0 .

Для того, чтобы состояние (4.2.2) преобразовывалось должным образом, необходимо и достаточно, чтобы оператор рождения преобразовывался по правилу: