Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

258 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

å Dll (L−1)ul (Lx + b; pΛ , s, n)

l

l

Эти фундаментальные требования позволяют определить коэффициентные функции ul è vl через конечное число свободных параметров.

Мы используем формулы (5.1.13) и (5.1.14) в три этапа, рассматривая по очереди три разных типа собственных ортохронных преобразований Лоренца.

Трансляции

Сначала рассмотрим формулы (5.1.13) и (5.1.14) при L = 1 и произвольном b. Сразу получаем, что ul(x;p,s,n) è vl(x;p,s,n) имеют

следующий вид:

(Множители (2π)–3/2 можно было бы включить в определение ul è vl,

но принято выписывать их явно перед интегралами.) С учетом (5.1.15) и (5.1.16) получаем, что условия (5.1.13) и (5.1.14) удовлетворяются, если и только если для произвольного преобразования Лоренца Λ

åvl (pL , σ, n)Ds(jsn )* aW(Λ, p)f = p0 (Λp)0 å Dll aΛfvl (p, σ, n) . (5.1.20)

Бусты

Положим теперь p = 0 в (5.1.19) и (5.1.20). Пусть Λ — стандарт-

ный буст L(q), переводящий частицу массой m из состояния покоя в состояние с некоторым 4-импульсом qμ. Тогда L(p) = 1 и

W(Λ, p) ≡ L-1(Λp)ΛL(p) = L-1(q)L(q) = 1 .

Отсюда в этом частном случае из формул (5.1.19) и (5.1.20) получаем

260 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Иными словами, если нам известны величины ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n) для нулевого импульса, то для заданного представления D(Λ) однородной группы Лоренца мы знаем и функции ul(p,σ,n) è vl(p,σ,n) для всех p. (Явные выражения матриц Dll (L(q)) для произвольных

представлений однородной группы Лоренца будут выписаны в разделе 5.7.)

Вращения

Далее, положим p = 0, но будем теперь считать, что Λ — преобразование Лоренца с pΛ = 0. Иными словами, будем рассматривать Λ как чистое вращение R. Очевидно, что W(Λ,p) = R, òàê ÷òî

формулы (5.1.19) и (5.1.20) принимают вид

ãäå J(j) и J — матрицы углового момента в представлениях D(j)(R) и D(R), соответственно. Если Λ ограничены вращениями R, то любое представление D(Λ) однородной группы Лоренца очевидно стано-

вится и представлением группы вращений. Тогда из формул (5.1.25) и (5.1.26) следует, что если поле ψl± (x) должно описывать частицы

определенного спина j, то это представление D(R) должно содержать среди своих неприводимых компонент отвечающее спину j представление D(j)(R), причем коэффициенты ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n)

описывают то, каким образом представление группы вращений со спином j погружено в D(R).

В разделе 5.5 мы увидим, что каждое неприводимое представление собственной ортохронной группы Лоренца содержит любое заданное неприводимое представление группы вращений не более одного раза, так что если поля ψl+ (x) è ψl− (x) преобразуются по

неприводимому представлению, то они единственны с точностью до общего масштабного множителя. В более общей форме утверждается, что число свободных параметров в полях уничтожения или рождения (включая их общие масштабные множители) равно числу неприводимых представлений, входящих в поле.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что коэффициентные функции ul(p,σ,n) è vl(p,σ,n), определяемые формулами (5.1.21) и (5.1.22), причем ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n) удовлетворяют соотно-

шениям (5.1.23) и (5.1.24), автоматически удовлетворяют и более общим требованиям (5.1.19) и (5.1.20). Мы оставляем проверку этого утверждения читателю.

Вернемся к принципу кластерного разложения. Подставляя (5.1.17) и (5.1.18) в (5.1.9) и интегрируя по x, находим, что гамильтониан взаимодействия равен

ãäå