Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

(çíàê å соответствует выбору коммутатора или антикоммутатора, если частицы, уничтожаемые или рождаемые компонентами ψl+ è ψl− , являются бозонами или фермионами, соответственно), и в

общем случае это выражение не обращается в нуль даже для пространственноподобных x − y. Очевидно, эту проблему не удает-

ся разрешить, если построить плотность гамильтониана взаимодействия только из полей рождения или уничтожения по отдельности, так как в этом случае взаимодействие не будет эрмитовым. Единственный путь преодоления трудности — в том, чтобы образовать линейные комбинации полей рождения и уничтожения

подобрав константы κ è λ и любые другие произвольные константы в полях так, чтобы при пространственноподобных интервалах x − y

Ниже в этой главе мы покажем, как это можно сделать для разных полей, преобразующихся по неприводимым представлениям. (Вклю- чив в явном виде константы κ è λ в (5.1.31), мы сохраняем свободу

выбора общего масштабного множителя для полей рождения и уничтожения в любой удобной нам форме.) Плотность гамильтониана H (x) будет удовлетворять перестановочным соотношениям (5.1.3), если она будет построена из таких полей и им сопряженных, причем будет входить четное число любых компонент полей, унич- тожающих и рождающих фермионы.

Условие (5.1.32) часто называют условием причинности, т. к. если x − y является пространственноподобным интервалом, ни один сигнал из x не может попасть в y, и измерение ψl в точке x не может интерферировать с измерениями ψl′ èëè ψ†l′ в точке y.

Подобные соображения приемлемы для электромагнитного поля, поскольку, как показано в классической работе Бора и Розенфельда2, в данной пространственно-временной точке может быть измерена любая его компонента. Однако нам предстоит иметь дело с полями типа дираковского поля электрона, которые не кажутся

измеримыми ни в каком смысле. Точка зрения, принимаемая в этой книге, заключается в том, что соотношение (5.1.32) необходимо для лоренц-инвариантности S-матрицы без дополнительных предположений об измеримости или причинности.

Есть еще одно обстоятельство, связанное с построением полей (5.1.31), удовлетворяющих условию (5.1.32). Может оказаться так, что частицы, уничтожаемые и рождаемые полями, обладают ненулевыми значениями одного или болеее сохраняющихся квантовых чисел типа электрического заряда. Например, если частицы типа n обладают значением q(n) электрического заряда Q, то

[Q, a(p, σ, n)] = −q(n)a(p, σ, n),

[Q, a† (p, σ, n)] = +q(n)a† (p, σ, n).

Для того, чтобы H (x) коммутировал с оператором заряда Q (или другими генераторами симметрии), необходимо, чтобы он был построен из полей, имеющих простые коммутационные соотношения с оператором Q:

Тогда можно построить H (x), который будет коммутировать с Q,

взяв его как сумму произведений полей ψl1 ψl2 . . . и сопряженных

полей ψ† ψ† . . . , причем

m1 m2

ql1 + ql2 +. . .− qm1 − qm2 −. . . = 0 .

Однако соотношение (5.1.33) выполняется для некоторой конкретной компоненты ψl+ поля уничтожения, если и только если все

типы частиц n, уничтожаемые этим полем, несут один и тот же заряд q(n) = ql; аналогично, оно удовлетворяется для конкретной компоненты ψl− поля рождения, если и только если все сорта частиц n , рождаемые этим полем, несут заряд q(n) = −ql . Ìû

видим, что для того, чтобы такая теория сохраняла квантовые числа типа электрического заряда, необходимо удвоение числа сортов частиц с ненулевыми значениями этих квантовых чисел: если конкретная компонента поля уничтожения уничтожает частицу типа n, то та же компонента поля рождения должна рождать

частицы сорта n , которые называются античастицами к частицам

типа n и обладают противоположными значениями всех сохраняющихся квантовых чисел. В этом заключается обоснование существования античастиц.

Если представление D(Λ) приводимо, можно использовать базис для полей, в котором D(Λ) разбивается на блоки вдоль

главной диагонали, причем поля, принадлежащие разным блокам, не переходят друг в друга при преобразованиях Лоренца. К тому же преобразования Лоренца не влияют на тип частиц. Поэтому вместо рассмотрения одного большого поля, содержащего много неприводимых компонент и много типов частиц, можно с этого момента ограничиться рассмотрением полей, которые уничтожают только один определенный тип частиц (при этом индекс n будем опускать) и рождают только соответствующие античастицы. Такие поля преобразуются по неприводимому представлению группы Лоренца (как отмечалось выше, это представление может как включать, так и не включать пространственное отражение). Следует понимать, что в общем случае нужно рассматривать много разных полей такого типа, причем некоторые из них могут быть образованы из производных других полей. В последующих разделах мы собираемся завершить определение коэффициентов ul(p,σ) è vl(p,σ), зафиксировать относительные значения констант κ è λ и вывести соотноше-

ния, связывающие свойства частиц и античастиц, проделав это последовательно для полей, принадлежащих простейшим неприводимым представлениям группы Лоренца — скалярному, векторному и дираковскому спинорному. После этого мы повторим анализ для совершенно произвольного неприводимого представления.

Сделаем замечание по поводу уравнений поля. Как следует из формул (5.1.31), (5.1.17) и (5.1.18), все компоненты поля данной массы m удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона:

Некоторые поля удовлетворяют одновременно и другим уравнениям поля, в зависимости от того, превышает или нет число компонент поля число независимых состояний частицы. Традиционно в квантовой теории поля сначала рассматривают полевые уравнения или тот лагранжиан, из которого они могут быть получены, а затем выводят разложение полей по одночастичным операторам уничтожения

и рождения. В излагаемом ниже подходе мы начинаем с частиц и выводим вид полей, исходя из требований лоренц-инвариантности. При этом уравнения поля возникают почти случайно как побочный продукт такого построения.

* * *

Следует отметить одно техническое обстоятельство. Согласно теореме, доказанной в разделе 4.4, условие, гарантирующее, что теория будет удовлетворять принципу кластерного разложения, заключается в том, что взаимодействие можно представить в виде суммы произведений операторов рождения и уничтожения, расположенных так, что все операторы рождения находятся левее всех операторов уничтожения. При этом коэффициенты разложения содержат только одну дельта-функцию закона сохранения импульса. Поэтому взаимодействие должно быть записано в «нормальной» форме

где двоеточия означают, что выражение между ними должно быть переписано так, чтобы все операторы рождения стояли левее операторов уничтожения (игнорируя при этой перестановке все ненулевые коммутаторы или антикоммутаторы, но учитывая знаки минус от перестановки фермионных операторов). С помощью соотношений коммутации или антикоммутации полей всякая такая нормально упорядоченная функция полей может быть записана и как сумма обычных произведений полей с с−числовыми коэффици-

ентами. После такого переписывания :F : становится очевидным, что несмотря на нормальное упорядочивание, :F(ψ(x),ψ†(x)): будет коммутировать с :F(ψ(y),ψ†(y)): при пространственноподобных x – y,

если эти функции построены из полей, удовлетворяющих (5.1.32), и содержат четное число любых фермионных операторов.

5.2. Причинные скалярные поля

Рассмотрим сначала однокомпонентные поля уничтожения и рождения ϕ+(x) è ϕ–(x), преобразующиеся по простейшему из