5.2. Причинные скалярные поля |
267 |
возможных скалярному представлению группы Лоренца с D(Λ) = 1.
Если ограничиться вращениями, то такое представление будет скалярным представлением группы вращений с J = 0, так что уравнения (5.1.25) и (5.1.26) не имеют других решений, кроме j = 0, в этом случае σ, `σ могут принимать только нулевые значения.
Таким образом, скалярное поле может описывать только частицы с нулевым спином. Предполагая на время, что поле описывает лишь один сорт частиц, не имеющих отличных от самих себя античастиц, и опуская индекс сорта n, спиновый индекс σ и индекс поля l, находим, что величины ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n) равны числам u(0) и v(0).
Общепринято подбирать общий масштаб полей уничтожения и рождения так, чтобы обе эти константы имели значение (2m)–1/2. Тогда из формул (5.1.21) и (5.1.22) находим:
u(p) = (2p0 )−1/2 , |
(5.2.1) |
v(p) = (2p0 )−1/2 . |
(5.2.2) |
Отсюда в скалярном случае поля (5.1.17) и (5.1.18) равны |
|
ϕ+ (x) = z d3p(2π)-3/2 (2p0 )-1/2 a(p)eip×x , |
(5.2.3) |
ϕ- (x) = z d3p(2π)-3/2 (2p0 )-1/2 a† (p)e-ip×x = ϕ+† (x). |
(5.2.4) |
Гамильтониан H (x), построенный как полином по полям ϕ+(x) è ϕ–(x), будет автоматически удовлетворять требованию (5.1.9), т. е.
будет скаляром. Остается удовлетворить другому условию лоренцинвариантности S-матрицы — коммутации H (x) и H (y), взятых в точках, разделенных пространственноподобным расстоянием x − y. Если бы H (x) был полиномом только по ϕ+(x), то не возника-
ло бы никаких трудностей. Все операторы уничтожения либо коммутируют, либо антикоммутируют, так что ϕ+(x) коммутирует или антикоммутриует с ϕ+(y) для всех x и y, в соответствии с тем,
является ли частица бозоном или фермионом:
[ϕ+ (x), ϕ+ (y)]m = 0. |
(5.2.5) |
Поэтому любой оператор H (x), являющийся полиномом по ϕ+(x)
(для фермионов он должен быть четным), будет коммутировать
5.2. Причинные скалярные поля |
269 |
или, используя стандартную функцию Ганкеля,
+ (x) = |
m |
||||||
K1(m x2 ). |
(5.2.9) |
||||||
4π2 |
|||||||
x2 |
|||||||
Это выражение не равно нулю. Что же с ним делать? Заметим, что хотя +(x) и не равна нулю, но при x2 > 0 эта функция четна по xμ. Попробуем построить H (x) не из одних полей ϕ+(x), à
из линейной комбинации полей
ϕ(x) ≡ κϕ+ (x) + λϕ− (x) .
Используя (5.2.6), имеем при пространственноподобных x − y
ϕ(x), ϕ† (y) m = | κ|2 ϕ+ (x), ϕ− (y) m +| λ|2 ϕ− (x), ϕ+ (y) m = (| κ|2 m | λ|2 ) + (x − y),
ϕ(x), ϕ(y) m = κλe ϕ+ (x), ϕ− (y) m + ϕ− (x), ϕ+ (y) m j = κλ(1 m 1) + (x − y).
Оба эти выражения будут обращаться в нуль тогда и только тогда, когда частица является бозоном (т. е. когда берется верхний знак),
а величины κ è λ равны:
|κ| = |λ| .
Относительную фазу κ è λ можно изменить путем переопределения
фаз состояний, так что a(p) → eiαa(p), a†(p) → e–iαa†(p), откуда κ → κeiα, λ → λe–iα. Выбирая α = Arg(λ/κ)/2, можно таким образом
сделать равными фазы κ è λ, а следовательно, и сами эти величины.
Переопределяя ϕ(x), |
чтобы поглотить общий |
множитель |
κ = λ, имеем окончательно |
||
ϕ(x) = ϕ+ (x) + ϕ+† (x) = ϕ† (x). |
(5.2.10) |
|
Итак, гамильтониан взаимодействия H (x) будет коммутировать с H (y) на пространственноподобных расстояниях x – y, если он будет построен как нормально упорядоченный полином по самосопряженному скалярному полю ϕ(x).
5.2. Причинные скалярные поля |
271 |
[Q, ϕ+ (x)]− = −qϕ+ (x), [Q, ϕ+c(x)]− = +qϕ+c(x).
Определим ϕ(x) как линейную комбинацию
ϕ(x) = κϕ+ (x) + λϕ+c† (x) ,
имеющую явно тот же коммутатор с Q, как и отдельное поле ϕ+(x):
[Q, ϕ(x)]− = −qϕ(x).
Тогда на пространственных расстояниях коммутатор или антикоммутатор ϕ(x) с сопряженным ему полем равен
ϕ(x), ϕ† (y) |
= | κ|2 |
ϕ+ (x), ϕ+† (y) |
m |
+| λ|2 |
ϕ+c† (x), ϕ+c (y) |
m |
|
m |
= (| κ|2 m | λ|2 ) + (x − y),
в то время как ϕ(x) è ϕ(y) автоматически коммутируют или антикоммутируют друг с другом для всех x и y, так как ϕ+ è ϕ+c†
уничтожают и рождают разные частицы. При получении этого результата мы молчаливо предполагали, что массы частиц и анти- частиц одинаковы, так что коммутаторы или антикоммутаторы
содержат одну и ту же функцию +(x – y). Случай статистики Ферми снова исключается, так как ϕ(x) может антикоммутировать с ϕ†(y) на пространственноподобных расстояниях только при κ = λ =
= 0, а при этом поля обращаются в нуль. Таким образом бесспиновая частица должна быть бозоном.
В случае бозе−статистики, для того, чтобы комплексное поле ϕ(x) коммутировало с ϕ†(y) на пространственноподобных расстояниях, необходимо и достаточно, чтобы |κ|2 = |λ|2 и массы частиц
и античастиц были бы одинаковы. Переопределяя относительную фазу состояний этих двух частиц, снова можно сделать равными фазы κ è λ, и тогда κ = λ. Этот общий множитель можно исключить переопределением поля ϕ, òàê ÷òî
ϕ(x) = ϕ+ (x) + ϕ+c† (x),