Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Для Дирака ключом к ответу на этот вопрос было требование положительности вероятностей. Было известно 16, что плотность вероятности для нерелятивистского уравнения Шредингера равна |y|2,

причем она удовлетворяет уравнению непрерывности вида:

так что интеграл от |y|2 по пространству не зависит от времени. С

другой стороны, единственные выражения для плотности вероятности r и плотности тока J, которые можно построить из решений

релятивистского уравнения Шредингера, и которые удовлетворяют закону сохранения

где N — произвольная константа. Невозможно считать r плотно-

стью вероятности, так как и при наличии, и в отсутствие внешнего потенциала j плотность r не имеет определенного знака. Процити-

руем воспоминания Дирака 17 по этому поводу:

«Вспоминаю, что как-то в Копенгагене Бор спросил меня, над чем я работаю, и я рассказал, что пытаюсь построить удовлетворительную релятивистскую теорию электрона. Бор ответил: “Но ведь это уже сделали Клейн и Гордон!” Поначалу такой ответ меня крайне обескуражил. Казалось, что Бор вполне удовлетворен решением Клейна, меня же оно совершенно не устраивало из-за возникающих при этом отрицательных вероятностей. Но я не сдался и продолжал поиск теории, в которой были бы только положительные вероятности».

Как утверждает Георгий Гамов 18, Дирак нашел решение проблемы однажды вечером в 1928 году, когда он сидел, уставившись

в огонь камина в колледже св. Иоанна в Кембридже. Дирак понял, что уравнение Клейна−Гордона (или релятивистское уравнение Шре-

дингера) приводит к отрицательным вероятностям потому, что плотность ρ в уравнении закона сохранения (1.1.10) содержит производ-

ные волновой функции по времени. Это, в свою очередь, вытекает из того, что волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка по времени. Задача, таким образом, заключалась в том, чтобы заменить это волновое уравнение другим уравнением, куда бы входили производные по времени первого порядка, как в нерелятивистском уравнении Шредингера.

Предположим, что волновая функция электрона является многокомпонентной величиной ψn(x), удовлетворяющей волновому урав-

нению вида

ãäå Í − некоторая матричная функция пространственных произ-

водных. Поскольку уравнение линейно по производным по времени, то для построения лоренц-инвариантной теории мы должны предположить, что оно также линейно и по пространственным производным, иными словами, H имеет вид

ãäå α1, α2, α3 è α4 — постоянные матрицы. Из (1.1.13) можно полу-

чить уравнение второго порядка:

(Здесь принято соглашение о суммировании по повторяющимся индексам: i, j принимают значения 1, 2, 3 или x, y, z.) Но это уравнение должно согласовываться с релятивистским уравнением Шредингера для свободного поля (1.1.4), выражающим просто релятивистскую связь между энергией и импульсом. Поэтому матрицы α è α4

должны удовлетворять условиям:

Дирак заметил, что эти соотношения являются лоренц-инва- риантными в том смысле, что матрицы Lμνgν, ãäå L — произвольное

преобразование Лоренца, также им удовлетворяют. Отсюда Дирак сделал вывод, что Lμνgν должны быть связаны с gμ некоторым преоб-

разованием подобия

Lμ νg ν = S−1bLgg μSbLg.

Следовательно волновое уравнение оказывается инвариантным, если при преобразовании Лоренца xμ ® Lμνxν волновая функция подвергается матричному преобразованию y ® S(L)y. (Более подробно

эти вопросы обсуждаются в гл. 5 с несколько иной точки зрения.) Для изучения поведения электронов в произвольном внешнем

электромагнитном поле Дирак воспользовался «обычной процедурой», сделав те же замены

что и в (1.1.4). В результате уравнение (1.1.13) принимает вид:

С помощью этого уравнения Дирак показал, что условие сохранения углового момента в центральном поле имеет вид

ãäå H - матричный дифференциальный оператор (1.1.14), а s — 4´4-обобщение спиновых матриц, ранее введенных Паули 19:

Так как каждая компонента s имеет собственные значения, равные ± 1, то наличие дополнительного слагаемого в (1.1.24) показы-

вает, что электрон обладает внутренним угловым моментом $/2. Дирак также квадрировал уравнение (1.1.23) и получил урав-

нение второго порядка. Оказалось, что оно имеет тот же вид, что и уравнение Клейна-Гордона (1.1.4), за исключением двух дополни-

тельных слагаемых в правой части:

В случае медленно движущегося электрона доминирует первое слагаемое, соответствующее магнитному моменту, значение которого согласуется с найденным Уленбеком и Гаудсмитом 11 значе- нием (1.1.8). Как заметил Дирак, такое значение магнитного момента с учетом релятивистской структуры теории приводит к правильной структуре тонкого расщепления в согласии (с точностью до a4mc2)

с результатами Гейзенберга, Иордана и Чарльза Г. Дарвина 13. Чуть позднее Дарвин 20 и Гордон 21 вывели «точную» формулу для уровней энергии атома водорода в рамках теории Дирака:

Первые три слагаемых в разложении этого выражения в ряд по степеням a2 согласуются с приближенным выражением (1.1.9).

Построенная теория удовлетворяла требованиям, выдвинутым Дираком: формализм должен быть релятивистским, а вероятности — существенно положительными. Из (1.1.13) и (1.1.14) можно вывести уравнение непрерывности:

так что положительную величину |y|2 можно интерпретировать как

плотность вероятности, причем полная вероятность равна интегралу от квадрата модуля волновой функции z| y|2 d3x.