292 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
|
γ 5* = −βCγ 5C −1β, |
(5.4.42) |
|
(γ 5γ m )* = −βCγ 5γ mC −1β. |
(5.4.43) |
|
5.5. Причинные дираковские поля
Мы хотим теперь построить поля уничтожения и рождения частиц, преобразующиеся по обсуждавшемуся в предыдущем разделе дираковскому представлению группы Лоренца. Эти поля имеют общий вид, задаваемый формулами (5.1.17) и (5.1.18):
ψl+ (x) = (2π)-3/2 å z d3p ul (p, σ)eip×xa(p, σ), |
(5.5.1) |
s |
|
ψl-c (x) = (2π)-3/2 å z d3p vl (p, σ)e-ip×xac† (p, σ). |
(5.5.2) |
s |
(метка сорта частиц опущена). Чтобы вычислить входящие в эти формулы коэффициентные функции ul(p,σ) è vl(p,σ), необходимо
сначала использовать (5.1.25) и (5.1.26) и найти ul è vl для нулевого импульса, а затем с помощью (5.1.21) и (5.1.22) вычислить их для произвольных импульсов. В обоих случаях Dll (Λ) следует брать как 4 × 4 дираковское представление однородной группы Лоренца.
С помощью (5.4.19) условия при нулевом импульсе (5.1.25) и (5.1.26) принимают вид *
å u |
± (0, σ)J(sjs) |
= å |
1 |
σ |
mmum± (0, σ), |
|
m |
2 |
|||||
s |
m |
|||||
* Мы опустили индекс сорта частиц n и заменили 4-компонентный индекс l на пару индексов: принимающий два значения индекс m, нумерующий строки и столбцы подматриц в (5.4.19) и (5.4.20), и второй индекс, принимающий значения ± и отмечающий строки и столбцы суперматрицы в (5.4.19)
è (5.4.20).
294 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
|||
и спиноры при конечном импульсе равны |
||||
u(p, σ) = |
m p0 D(L(p))u(0, σ), |
(5.5.6) |
||
v(p, σ) = |
m p0 D(L(p))v(0, σ). |
(5.5.7) |
||
Остается выяснить, чему равны константы c± è d±. Вообще говоря,
они совершенно произвольны — можно даже выбрать с– è d– èëè ñ+ è d+ равными нулю, так что дираковское поле будет иметь лишь две отличные от нуля компоненты. Единственное физическое условие, которое может как-то определить относительные значения c± è d±, это сохранение четности. Напомним, что в результате про-
странственной инверсии операторы уничтожения частиц и рождения античастиц подвергаются преобразованию
Pa(p, σ)P−1 = η*a(−p, σ), |
(5.5.8) |
||
Pac† (p, σ)P−1 = ηcac† (−p, σ), |
(5.5.9) |
||
òàê ÷òî |
|||
Pψl+ (x)P-1 = η* (2π)-3/2 å z d3p ul (−p, σ)eip×Pxa(p, σ), |
(5.5.10) |
||
s |
|||
Pψl-c (x)P-1 = ηc (2π)-3/2 å z d3p vl (−p, σ)e-ip×Pxac† (p, σ). |
(5.5.11) |
||
s |
|||
Кроме того, из формул (5.4.16), (5.1.21) и (5.1.22) следует, что |
|||
u(−p, σ) = |
m p0 βD(L(p))βu(0, σ), |
(5.5.12) |
|
v(−p, σ) = |
m p0 βD(L(p))βv(0, σ). |
(5.5.13) |
|
(Поскольку β2 = 1, мы более не делаем различия между β è β–1.) Äëÿ
того, чтобы оператор четности переводил поля уничтожения и рождения в точке x в нечто, пропорциональное этим полям в точке Px, необходимо, чтобы βu(0,σ) è βv(0,σ) были бы пропорциональны u(0,σ) è v(0,σ), соответственно:
296 Глава 5. Квантовые поля и античастицы
ãäå
Nll (p) ≡ å ul (p, σ)ul* (p, σ) , |
(5.5.21) |
σ |
|
Mll (p) ≡ åvl (p, σ)vl* (p, σ) . |
(5.5.22) |
σ |
Используя либо условия на собственные значения (5.5.14), либо явные формулы (5.5.17) и (5.5.18), находим, что при нулевом импульсе
N(0) |
= |
1 + buβ |
, |
M(0) = |
1 + bvβ |
. |
(5.5.23) |
|||
2(2π)3 |
2(2π)3 |
|||||||||
Тогда из (5.5.6) и (5.5.7) получаем: |
||||||||||
N(p) = |
m |
DaL(p)f[1 + buβ]D† aL(p)f , |
(5.5.24) |
|||||||
0 |
||||||||||
2p |
||||||||||
M(p) = |
m |
DaL(p)f[1 + bvβ]D† aL(p)f . |
(5.5.25) |
|||||||
0 |
||||||||||
2p |
||||||||||
Из условия псевдоунитарности (5.4.32) следует:
DaL(p)fβD† aL(p)f = β ,
DaL(p)fD† aL(p)f = DaL(p)fβD−1aL(p)fβ.
Напомним также, что β = –iγ0, так что с помощью закона лоренцов-
ского преобразования (5.4.8) находим:
DaL(p)fβD−1aL(p)f = −iLμ0 (p)γ μ = −ipμ γ μ / m. (5. 5. 26)
Собирая результаты, получаем *:
* Иногда в дираковcкие спиноры включают дополнительный множитель (р0/m)1/2, так что в знаменателях формул суммирования по спинам (5.5.27) и (5.5.28) появляется m вместо р0. Используемое здесь условие нормировки имеет то преимущество, что оно выдерживает плавный переход к случаю m = 0.