282 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
спина частицы на ось z, получаем, что вероятность пропорциональна величине
å| < Jμ > eμ (p, σ)* |2 = < Jμ >< Jν >* Πμν (p),
σ
где p — импульс испускаемой частицы со спином единица, а <Jμ> —
матричный элемент тока (взятый, скажем, при x = 0) между начальным и конечным состояниями всех других частиц. Слагаемое pμpν/m2 â Πμν(p) приводит в общем случае к бесконечному возрастанию вероятности процесса при m → 0. Единственный способ предот-
вратить катастрофу — предположить обращение в нуль произведения <Jμ>pμ. В координатном пространстве это сводится к сохранению тока Jμ в том смысле, что ∂μJμ = 0. На самом деле, необходимость
сохранения тока можно увидеть после простого подсчета числа состояний. У массивной частицы со спином единица имеется три спиновых состояния, которые можно считать состояниями со спиральностью +1, 0 и −1. В то же время любая безмассовая частица со
спином единица типа фотона может иметь только две спиральности +1 и −1. Условие сохранения тока как раз и гарантирует, что в
пределе нулевой массы частицы со спином 1 в состояниях с нулевой спиральностью не будут излучаться.
Преобразования инверсий можно рассмотреть во многом аналогично случаю скалярного поля. Чтобы вычислить результат действия преобразования пространственной инверсии, нужна формула
μ |
− |
p,s). Используя равенство |
Lμ |
ν (−p) = P μ |
νLρτ (p)P |
τ ν |
и формулу |
äëÿ e ( |
|||||||
(5.3.24), |
находим |
||||||
eμ (−p, σ) = −P μ νeν (p, σ) . |
(5.3.39) |
||||||
Далее, чтобы вычислить результат действия операции обращения времени, нужна формула для (−1)1+ σ eμ* (−p,−σ). Используя равенство eμ*(–σ) = –eμ(σ) и предыдущую формулу для Λμν(–p), получаем
(−1)1+ σ eμ* (−p,−σ) = P μ νeν (p, σ) . |
(5.3.40) |
С помощью этих формул и свойств преобразования операторов уничтожения и рождения, выписанных в разделе 4.2, можно непосредственными вычислениями найти законы преобразования полей
5.4. Дираковский формализм |
283 |
уничтожения и рождения под действием преобразований инверсии. Мы вновь обнаруживаем, что для того, чтобы причинные поля преобразовывались бы в другие поля, с которыми они коммутируют на пространственноподобных расстояниях, необходимо, чтобы внутренние фазовые множители, отвечающие пространственной инверсии, зарядовому сопряжению и обращению времени для частиц со спином единица и их античастиц, были связаны соотношениями:
ηc = η* , |
(5.3.41) |
|
ξc |
= ξ* , |
(5.3.42) |
ζc |
= ζ* . |
(5.3.43) |
(В частности, в случае, когда частицы со спином 1 совпадает со своей античастицей, все фазы должны быть действительны.) С учетом этих условий на фазы находим, что причинное векторное поле (5.3.34) обладает следующими трансформационными свойствами относительно инверсий:
Pvμ (x)P−1 = −η* P μ νvν (Px), |
(5.3.44) |
Cvμ (x)C−1 = ξ*vμ† (x), |
(5.3.45) |
Tvμ (x)T−1 = ζ* P μ νvν (−Px). |
(5.3.46) |
В частности, знак «минус» в (5.3.44) означает, что векторное поле, преобразующееся как полярный вектор без дополнительных фаз или знаков, связанных с матрицей P μν, описывает частицу со спином 1 и внутренней четностью η = –1.
5.4. Дираковский формализм
Среди всех представлений однородной группы Лоренца существует одно, играющее особую роль в физике. Как мы видели
âразделе 1.1, это представление было впервые рассмотрено Дираком
âтеории электрона 3. Но, как часто случается, оно было уже известно математикам 4, так как при любом числе измерений это
284 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
представление лежит в основе одного из двух больших классов представлений группы вращений или группы Лоренца (точнее, их накрывающих групп; см. раздел 2.7). Согласно рассматриваемому здесь подходу, структура и свойства любого квантового поля диктуется тем представлением однородной группы Лоренца, по которому это поле преобразуется. Поэтому для нас более естественно сначала описать дираковский формализм в том виде, как он возник в математике, а не так, как его ввел Дирак.
Представлением однородной группы Лоренца мы называем множество матриц D(Λ), удовлетворяющих закону группового ум-
ножения
D(Λ)D(Λ) = D(ΛΛ).
Как и для унитарных операторов U(Λ), можно изучать свойства
этих матриц, рассматривая бесконечно малые преобразования
Λμ ν = δμ ν + ωμ ν , |
(5.4.1) |
|||
ωμν = −ω νμ , |
(5.4.2) |
|||
для которых |
||||
D(Λ) = 1 + |
i |
ωμν J μν |
, |
(5.4.3) |
2 |
||||
ãäå J μν = –J νμ — множество матриц, удовлетворяющих коммута-
ционным соотношениям (2.4.12):
i[ J μν, J ρσ ] = ηνρ J μσ − ημρ J νσ − ησμ J ρν + ησν J ρμ . |
(5.4.4) |
Чтобы найти эти матрицы, предположим, что сначала мы построили матрицы γμ, удовлетворяющие соотношениям антикоммутации,
{γμ,γν} = 2ημν , |
(5.4.5) |
||||
и попробуем определить |
|||||
J |
μν = − |
i |
[γ μ , γ ν |
]. |
(5.4.6) |
4 |
|||||
С помощью (5.4.5) нетрудно показать, что
5.4. Дираковский формализм |
285 |
[ J μν , γ ρ ] = −iγ μ ηνρ + iγ νημρ . |
(5.4.7) |
Отсюда вытекает, что (5.4.6) действительно удовлетворяет требуемому коммутационному соотношению (5.4.4). Предположим далее, что матрицы γμ неприводимы. Это означает, что не существует
собственного подпространства, остающегося инвариантным под действием всех этих матриц. В противном случае можно было бы выбрать меньшее количество компонент поля, которые преобразовывались бы по формулам (5.4.3) и (5.4.6) с неприводимым набором
матриц γμ.
Всякий набор матриц, удовлетворяющих соотношению вида (5.4.5) (или его евклидовому аналогу, в котором ημν заменено на
кронекеровский дельта-символ), называется алгеброй Клиффорда. Важность этого представления однородной группы Лоренца (точ- нее, ее накрывающей группы) связана с тем, что наиболее общее неприводимое представление группы Лоренца является тензором либо спинором, преобразующимися по формулам (5.4.3), (5.4.6), или прямым произведением спинора и тензора (доказательство приведено в разделе 5.6).
Смысл перестановочного соотношения (5.4.7) заключается в том, что γ ρ является вектором, т. е. с учетом формулы (5.4.3)
выполнено равенство
D(Λ)γ ρD−1(Λ) = Λσργ σ . |
(5.4.8) |
Точно так же единичная матрица тривиально является скаляром:
D(Λ)1D−1(Λ) = 1, |
(5.4.9) |
и из (5.4.4) следует, что J ρσ есть антисимметричный тензор:
D(Λ) J ρσ D−1(Λ) = ΛμρΛ νσ J μν . |
(5.4.10) |
С помощью матриц γμ можно построить другие полностью антисим-
метричные тензоры
Àρστ ≡ γ [ργ σ γ τ] , |
(5.4.11) |
P ρστη = γ [ργ σ γ τ γ η] . |
(5.4.12) |
286 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
Квадратные скобки в этих выражениях являются стандартным обозначением того, что производится суммирование по всем перестановкам индексов внутри скобок, а знаки «плюс» или «минус» определяются четностью перестановки. Например, формула (5.4.11) есть сокращенная запись выражения
À ρστ ≡ γ ργ σ γ τ − γ ργ τ γ σ − γ σ γ ργ τ + γ τ γ ργ σ + γ σ γ τ γ ρ − γ τ γ σ γ ρ .
Многократно используя формулу (5.4.5). можно записать любое произведение γ-матриц как сумму антисимметризованных произведений γ-матриц, умноженных на произведение метрических тензо-
ров, так что полностью антисимметричные тензоры образуют полный базис множества всех матриц, которые можно построить из матриц Дирака.
Этот формализм автоматически содержит преобразование четности, которое принято выбирать в виде
β ≡ iγ 0 . |
(5.4.13) |
В применении к матрицам Дирака имеем:
βγ iβ−1 = −γ i , βγ 0β−1 = +γ 0 . |
(5.4.14) |
(Индексы выбраны так, что μ пробегает значения 0, 1, 2, ...) Такое
же преобразование подобия, примененное к любому произведению γ-матриц, приведет к появлению дополнительного знака «плюс» или
«минус» в зависимости от того, содержит ли произведение четное или нечетное число γ-матриц с пространственными индексами. В частности,
βJ ijβ−1 = J ij , |
(5.4.15) |
βJ i0β−1 = − J i0 . |
(5.4.16) |
Все, что до сих пор говорилось в этом разделе, применимо для любого числа пространственно-временных измерений и для любой «метрики» ημν. Однако в четырехмерном пространстве–времени суще-
ствует дополнительное ограничение, что ни один полностью антисимметричный тензор не может иметь более четырех индексов, так что последовательность тензоров 1, γρ, J ρσ, À ρστ,... обрывается на тензоре