Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

5.4. Дираковский формализм	287

(5.4.12). Далее, каждый из этих тензоров преобразуется по-разному под действием преобразований Лоренца и/или четности, так что все они линейно независимы *. Число линейно независимых компонент этих тензоров равно единице для 1, четырем для γ ρ, шести для J ρσ, четырем для А ρστ, и единице для P μνρσ, т. е. всего шестнадцать

компонент. (По общему правилу полностью антисимметричный тензор с n индексами в пространстве d измерений имеет число компонент, равное биномиальному коэффициенту d!/n!(d–n)!) Существуют не более чем ν2 независимых ν × ν матриц, так что наши матрицы должны иметь не меньше, чем 16 = 4 строк и столбцов. Матрицы Дирака

минимальной размерности с необходимостью неприводимы; если бы это было не так, то подпространство, оставляемое инвариантным этими матрицами, реализовало бы представление меньшей размерности. Поэтому примем, что γμ есть матрицы 4 × 4.

(В более общем случае, при любом четном числе d простран- ственно-временных измерений, можно построить антисимметрич- ные тензоры с 0, 1, ... , d индексами и с общим числом независимых компонент, равным

d	d!
å	d!	= 2d .

	n!(d − n) !
n=0

Тогда γ-матрицы должны иметь как минимум 2d/2 строк и столбцов. Для пространства или пространства−времени нечетной размер-

ности полностью антисимметричные тензоры ранга n и d – n могут быть связаны линейными условиями

γ [μ1 γ μ2 . . . γ μr ] εμ1μ2 ...μd γ [μr +1 γ μr +2 . . . γ μd ] ,

ïðè r = 1, 2, ..., d–1, ãäå εμ1μ2 ...μd — полностью антисимметричный

тензор, а при r = 0 левая часть равна единичной матрице. При

* То, что эти матрицы линейно независимы, можно показать другим способом, заметив, что они образуют ортогональное множество со скалярным произведением двух матриц, определенным, как след от их произведения. Заметим, что ни одна из матриц не может равняться нулю, т. к. каждая компонента каждого тензора пропорциональна произведению разных γ-ìàò-

риц, а квадрат такого произведения равен с точностью до знака произведению соответствующих квадратов, т. е. равен ±1.

288	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

таких условиях * есть только 2d–1 независимых тензоров, откуда минимальная размерность γ-матриц равна 2(d–1)/2).

Возвращаясь к четырехмерному пространству-времени, выберем явно набор 4 × 4 γ-матриц. Удобным является следующий

выбор:

L0	1O		L 0		σO
γ 0 = −iM	0	P ,	γ = −iM	−σ	0	P ,	(5.4.17)
1		Q	N			Q
N

где 1 — единичная 2 × 2 матрица, а компоненты вектор-матри- цы σ — обычные матрицы Паули

σ1	F0	1I	σ2	F0 −iI		σ3	F 1	0 I
σ1	= G	J ,	σ2	= G	J ,	σ3	= G	J .	(5.4.18)
	H 1	0K		H i	0 K		H0	−1K

(Матрицы σi как раз являются 2 × 2 γ-матрицами в трех измерени-

ях.) Можно показать 5, что любой другой неприводимый набор γ-матриц связан с этими матрицами преобразованием подобия.

С помощью формул (5.4.17) без труда вычисляются генераторы группы Лоренца:

J ij	=	1	εijk			Lσk
						M
		2
						N 0
J i0	= +			i	Lσi
					M
				2
					N 0

0 O

P ,	(5.4.19)
σk Q
0 O
P .	(5.4.20)
−σi Q

* Это ограничение не мешает включению пространственной инверсии в дираковское представление группы Лоренца в нечетномерном пространстве– времени, т. к. тензор εμ1μ2 ...μd четен по отношению к инверсии пространствен-

ных координат. Если нас не заботит пространственная инверсия, можно построить 2(d–2)/2-мерные неприводимые представления собственной ортохронной группы Лоренца в пространстве-времени четного числа измерений, наложив упомянутые выше ограничения, связывающие антисимметризованные произведения r и d – r матриц Дирака. Примером могут служить подматрицы в нижеприведенных формулах (5.4.19) и (5.4.20)

5.4. Дираковский формализм	289

(Здесь εijk — полностью антисимметричный тензор в трех измерениях, причем ε123 ≡ +1.) Заметим, что они блочно-диагональны,

так что матрицы Дирака реализуют приводимое представление собственной ортохронной группы Лоренца, являющееся прямой суммой двух неприводимых представлений с J ij = ±εijkJ k0.

Удобно записать полностью антисимметричные тензоры (5.4.11) и (5.4.12) в несколько более простом виде. Матрица (5.4.12) полностью антисимметрична, следовательно, пропорциональна псевдотензору ερστη, определенному как полностью антисимметричная величина с ε0123 = +1. Полагая индексы ρ, σ, τ, η последо-

вательно равными 0, 1, 2, 3, видим, что

P ρστη = 4 ! iερστηγ						5	,	(5.4.21)
						5
ãäå
γ 5 ≡ −iγ 0γ 1γ 2γ 3 .								(5.4.22)
Матрица γ5 является псевдоскаляром в том смысле, что
[ J ρσ , γ 5 ] = 0,								(5.4.23)
βγ	5	β−1	= −γ	5	.			(5.4.24)

Аналогично, А ρστ должна быть пропорциональна тензору ερστη, свернутому с некоторой матрицей А η. Полагая индексы ρ, σ, τ по очереди

равными 0, 1, 2, или 0, 1, 3, или 0, 2, 3, или 1, 2, 3, находим:

À ρστ = 3! iερστηγ 5γ η .

(5.4.25)

Шестнадцать независимых 4 × 4 матриц могут быть поэтому выбраны как компоненты скаляра 1, вектора γρ, антисимметричного тензора J ρσ, «аксиального» вектора γ5γη и псевдоскаляра γ5. Легко видеть, что квадрат матрицы γ5 равен единице:

γ 52 = 1,	(5.4.26)
а сама эта матрица антикоммутирует со всеми γμ:
{γ 5 , γ μ } = 0.	(5.4.27)

290	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Обозначение γ5 особенно удобно, т. к. соотношения антикоммутации (5.4.26) и (5.4.27) вместе с формулой (5.4.5) показывают, что γ0, γ1, γ2, γ3, γ5 реализуют алгебру Клиффорда в пяти пространственно– временных измерениях. В конкретном 4 × 4 представлении γ- матриц (5.4.17) матрица γ5 имеет вид

γ 5	F 1		0 I
γ 5	= G		J .	(5.4.28)
	H	0	−1K

Удобство такого представления состоит в том, что в нем J ρσ è γ5

имеют блочно–диагональный вид. Мы увидим далее, что это свойство окажется особенно полезным при рассмотрении частиц в ультрарелятивистском пределе, когда v → c. (Однако, это пред-

ставление не совпадает с тем, которое описано в разделе 1.1 и которое ввел Дирак, поскольку он интересовался, главным образом, поведением атомных электронов, для которых v n c. В этом случае удобнее использовать представление, в котором диагональна не матрица γ5, а матрица γ0.)

Построенное здесь представление однородной группы Лоренца не унитарно, т. к. не все генераторы J ρσ являются эрмитовыми

матрицами. В частности, в представлении (5.4.17) матрицы J ij эрмитовы, но J i0 антиэрмитовы. Условия действительности удобно записать в явно лоренц–инвариантной форме, введя матрицу β ≡ iγ0

(5.4.13), которая в представлении (5.4.17) принимает вид

F0		1I
β = G		J .
H	1	0K

Из (5.4.17) следует, что

βγ μ†β = −γ μ ,

откуда

βJ ρσ†β = J ρσ .

(5.4.29)

(5.4.30)

(5.4.31)

Следовательно, хотя матрицы D(Λ) не унитарны, они удовлетворя-

ют соотношению псевдоунитарности:

βD(Λ)† β = D(Λ)−1 .

(5.4.32)

5.4. Дираковский формализм	291

Далее, γ5 эрмитова и антикоммутирует с β, òàê ÷òî
βγ 5†β = −γ 5 ,	(5.4.33)
откуда следует, что
β(γ 5γ μ )† β = −γ 5γ μ .	(5.4.34)

Матрицы Дирака и связанные с ними матрицы обладают рядом важных свойств симметрии. Из формул (5.4.17) и (5.4.18) вытекает, что γμ симметричны при μ = 0, 2 и антисимметричны при μ = 1, 3,

òàê ÷òî

γ Tμ = −Cγ μC −1,	(5.4.35)
где Т означает транспонирование, и

	F σ2			0 I	(5.4.36)
C ≡ γ 2β = −iG				J .	(5.4.36)
	H 0			σ2 K
Отсюда сразу же следует, что
JμνT	= −C JμνC −1,				(5.4.37)
γ T	= +Cγ	5	C −1	,	(5.4.38)
5		5
(γ 5γ μ )T = +Cγ 5γ μC −1 .					(5.4.39)

Полученные знаки окажутся важными, когда мы в следующем разделе будем рассматривать свойства разных токов по отношению к зарядовому сопряжению. Конечно, можно объединить полученные результаты для сопряжения и транспонирования, и получить правила комплексного сопряжения дираковских и связанных с ними матриц:

γ *μ	= βCγ μC −1β,	(5.4.40)
Jμν*	= −βC JμνC −1β,	(5.4.41)

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280974

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)