Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

изложен в неопубликованных лекциях Ю. Вихмана.

2. Bohr, N. and Rosenfeld, L., Kgl. Danske Vidensk. Selskab. Mat.-Fys. Medd., No. 12 (1933) (перевод в сборнике: Selected papers of Leon Rosenfeld, ed. by R.S. Cohen and J. Stachel (Reidel, Dordrecht, 1979)); Phys. Rev., 78, 794 (1950).

3. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc. (London), A117, 610 (1928).

4. Cartan, E., Bull. Soc. Math. France, 41, 53 (1913).

5. См., например, Jauch, J.M. and Rorlich, F. The Theory of Photons and Electrons (Addison-Wesley, Cambridge, MA, 1955), Appendix A2; Georgi, H. Lie Algebras in Particle Physics (Benjamin-Cummings, Reading, VA, 1982), pp. 15, 198. Исходная ссылка: Schur, I., Sitz. Preuss. Akad., p. 406 (1905).

6. См., например, Georgi, H. Lie Algebras in Particle Physics (BenjaminCummings, Reading, VA, 1982), pp. 15, 198. Исходная ссылка: Schur, I., Sitz. Preuss. Akad., p. 406 (1905).

7. Lee, T.D. and Yang, C.N., Phys. Rev., 104, 254 (1956).

8. См., например, Van der Waerden, B.L. Die Gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik (Springer Verlag, Berlin, 1932); Любарский, Г.Я. Теория групп и ее применение в физике (М.: Гостехиздат, 1957).

9. Rarita, W. and Schwinger, J., Phys. Rev., 60, 61 (1941).

10. См., например, Edmonds, A.R., Angular Momentum in Quantum Mechamics (Princeton University Pree, Princeton, 1957), Chapter 3 (есть рус. пер.: Эдмондс, А. Угловой момент в квантовой механике. М.: ИЛ, 1968).

11. Weinberg, S., Phys. Rev., 181, 1893 (1969); Section V.

12. Fierz., M., Helv. Phys. Acta, 12, 3 (1939); Pauli, W., Phys. Rev., 58, 716 (1940). Не основанные на теории возмущений доказа-

тельства в аксиоматической теории поля были даны в работах: Lü ders, G. and Zumino, B., Phys. Rev., 110, 1450 (1958); Burgoyne,

N., Nuovo Cimento, 8, 807 (1958). См. также: Streater, R.F. and Wightman, A.S. PCT, Spin & Statistics, and All That (Benjamin, New York, 1968) (есть рус. пер.: Стритер Р., Вайтман А. РСТ, спин и статистика и все такое. М.: Мир, 1970).

13. Поля в представлении (j,0) + (0,j) были введены в работе: Joos, H., Fortschr. Phys., 10, 65 (1962); Weinberg, S., Phys. Rev., 133, B1318 (1964).

14. Edmonds, A.R. [10], èëè Rose, M.E. Elementary Theory of Angular Momentum (Wiley & Sons, New York, 1957), Chapter III.

15. Velo, G. and Zwanziger, D., Phys. Rev., 186, 1337 (1969); 188, 2218 (1969); Wightman, A.S., in: Proceedings of the Fifth Coral Gables Conference on Symmetry Principles at High Energy, ed. by T. Gudehus, G. Kaiser, and A. Perlmutter (Gordon and Breach, New York, 1969); Schroer, B., Seiler, R., and Swieca, A., Phys. Rev., D2, 2927 (1970) и другие ссылки в этих работах.

16. Nappi, C.R. and Witten, E., Phys. Rev., D40, 1095 (1989); Argyres, P.C. and Nappi, C.R., Phys. Lett., B224, 89 (1989). Вывод согласованной теории частиц со спином j = 3/2 во внешних полях из теории Калуцы–Клейна см. в работах: Rindani, S.D. and Sivakumar, M . ,

J. Phys. G: Nucl. Phys., 12, 1335 (1986); J. Phys. C: Particles & Fields, 49, 601 (1991).

17. Lü ders, G., Kgl. Danske Vidensk. Selskab. Mat.-Fys. Medd., 28, 5

(1954); Ann. Phys., 2, 1 (1957); Pauli, W., Nuovo Cimento, 6, 204 (1957). Когда Людерс впервые рассмотрел вопрос о том, как связаны инверсии, считалось общепризнанным, что P сохраняется, так что его теорема утверждала, что сохранение C эквивалентно T-инвариантности.

18. Jost, R., Helv. Phys. Acta, 30, 409 (1957); Dyson, F.J., Phys. Rev., 110, 579 (1958). См. также книгу Стритера и Вайтмана [12].

6

Фейнмановские правила

Âпредыдущих главах использование ковариантных свободных полей для построения плотности гамильтониана мотивировалось требованием, чтобы S-матрица удовлетворяла условиям лоренц-инвариантости и кластерного разложения. Если мы построили таким способом плотность гамильтониана, уже не имеет значения, какую форму теории возмущений использовать для вычисления S-матрицы. Результаты будут автоматически удовлетворять указанным условиям в каждом порядке по плотности гамильтониана взаимодействия. Тем не менее, очевидны практи- ческие преимущества использования такого варианта теории возмущений, в котором лоренц-инвариантность и свойства кластерного разложения S-матрицы явно сохраняются на каждом этапе вычислений.

Âтой теории возмущений, которую использовали в 1930-е годы и которая сейчас известна под названием «старой» (мы описали ее в начале раздела 3.5), указанные свойства не выполнялись.

Большим достижением Фейнмана, Швингера и Томонаги в конце 1940-х годов было развитие такой техники теории возмущений для вычисления S-матрицы, в которой на каждом шаге прослеживались лоренц-инвариантность и свойства кластерного разложения.

В этой главе мы опишем диаграммную технику вычислений, впервые предложенную Фейнманом на конференции в Поконо в 1948 году. Фейнман пришел к этим диаграммным правилам, развивая предложенный им подход, основанный на функциональном интеграле. Этот подход будет рассмотрен в гл. 9. Здесь же мы воспользуемся подходом, предложенным в 1949 году Дайсоном 1.

Вплоть до 1970-х годов именно он был основой любого анализа теории возмущений в квантовой теории поля, да и до сих пор этот подход позволяет дать особенно ясное введение в фейнмановские правила *.

6.1. Вывод правил

Исходной для нас является формула для S-матрицы, полу- ченная объединением дайсоновского ряда (3.5.10) с выражением (4.2.2) для состояний свободных частиц:

× TlH (x1). . . H (xN )q a†(p1σ1n1)a† (p2σ2n2 ). . . Φ0 i .

Напоминание: метки р, σ и n отмечают импульсы частиц, их

спин и тип; штрихи относятся к меткам частиц в конечном состоянии; Φ0 — вакуумное состояние свободных частиц; a и а† —

операторы уничтожения и рождения; Т означает хронологическое упорядочивание, располагающее все H (x) в таком порядке, что аргументы x0 уменьшаются слева направо; H (x) — плотность гамильтониана взаимодействия, рассматриваемая как полином по полям и сопряженным полям,

причем каждое слагаемое Hi является произведением определенного числа полей и им сопряженных полей каждого типа. Поле

* Мы используем современную версию функциональный интеграл русского перевода английского термина path intergral, предпочитая ее первоначальным и до сих пор используемым версиям «интеграл по путям» или «интеграл по траекториям». Это отвечает более широкому современному содержанию понятия. — Прим. ред.

частицы типа n, преобразующееся по определенному представлению однородной группы Лоренца (с учетом или без учета пространственных инверсий), дается выражением

yl (x) = å(2p)-3/2 z d3p[ul (p, s, n)a(p, s, n)eip×x

Здесь nc — индекс античастицы типа n, а в показателе exp(±ip×x) компонента p0 равна p2 + m2n . Коэффициентные функ-

öèè ul è vl зависят от свойств поля по отношению к преобразованиям Лоренца и от спина частицы, которая описывается этим полем. Эти функции были вычислены в гл. 5. (Например, в случае скалярного поля коэффициент ul для частицы с энергией Е равен (2Е)−1/2, а для дираковского поля ul è vl - нормированные дираков-

ские спиноры, введенные в разделе 5.5.) Индекс l у поля следует понимать как указатель типа частицы и того представления группы Лоренца, по которому поле преобразуется. Кроме того, в него включается бегущий индекс, отмечающий компоненты поля в данном представлении.

Нет нужды рассматривать отдельно взаимодействия, содержащие производные полей; с нашей точки зрения, производная поля (6.1.3) есть просто другое поле, описываемое той же формулой, но с другими коэффициентами ul è vl. Ниже мы будем делать различие между некоторыми типами частиц, которые мы произвольно будем называть «частицами», например, электроны, протоны, и т. д., и типами частиц, которые будем называть «античастицами» (позитроны, антипротоны и т. д.). Полевые операторы, уничтожающие частицы и рождающие античастицы, будут называться просто «полями»; сопряженные им операторы, уничтожающие античастицы и рождающие частицы, будут называться «сопряженными полями». Конечно, у некоторых типов частиц, вроде фотона и p0-мезона, анти-

частицы тождественны частицам. В этом случае сопряженные поля пропорциональны самим полям.

Начнем перемещать все операторы уничтожения в формуле (6.1.1) направо, используя на каждом шаге соотношения коммутации или антикоммутации:

a(p s n)a† (p¢ s¢ n¢) = ±a† (p¢ s¢ n¢)a(p s n) + d3 (p¢ - p)ds¢sdn¢n , (6.1.4)

348 Глава 6. Фейнмановские правила

д) Спаривание конечной частицы (или античастицы) с квантовыми числами p′, σ′, n′ с начальной частицей (или античастицей) с квантовыми числами p, σ, n дает множитель

е) Спаривание поля ψl(x) â Hi(x) с сопряженным полем ψ†m(y) â

Hj(y) дает множитель *

ãäå ψ+ è ψ − − слагаемые в ψ, которые уничтожают частицы и

рождают античастицы, соответственно:

s

Напомним, что θ(x − y) — ступенчатая функция, равная +1

ïðè x0 > y0 è íóëþ ïðè x0 < y0. Такие ступенчатые функции возникают в (6.1.14) из-за хронологического упорядочивания в (6.1.1); спаривание поля уничтожения ψ+(x) в H (x) с полем рождения ψ+†(y) в H (y) можно учитывать, только если H (x) изначально

находится левее H (y) в формуле (6.1.1), т. е. если x0 > y0. Аналогич-

* Если взаимодействие H (x) записано в нормальной форме, как в (5.1.33), то отсутствует спаривание полей с сопряженными полями в одном и том же операторе взаимодействия. В противном случае необходима некоторая процедура регуляризации для придания смысла величине lm(0).