5.9. Поля безмассовых частиц |
337 |
и симметрией относительно перестановок самих этих пар. Однако, чтобы включить обычные гравитационные взаимодействия по закону обратных квадратов, необходимо ввести поле hμν, преобразую-
щееся как симметричный тензор с точностью до калибровочных преобразований, относящихся к типу, связанному в общей теории относительности с произвольными преобразованиями координат. Таким образом, чтобы построить теорию безмассовых частиц со спиральностью ±2, включающую дальнодействие, необходимо, чтобы
эта теория обладала симметрией, похожей на общую ковариантность. Как и в случае электромагнитной калибровочной инвариантности, этого можно добиться, введя взаимодействие поля hμν с сохраняющимся «током» qμν, теперь уже несущим два пространст- венно-временных индекса и удовлетворяющим условию ¶μqμν = 0.
Единственным таким сохраняющимся тензором является тензор энергии-импульса, если не учитывать возможные слагаемые, имеющие вид полной производной и не влияющие на поведение порождаемыхподобным взаимодействием сил на больших расстояниях. * Поля безмассовых частиц со спином j ³ 3 должны были бы взаимо-
действовать с сохраняющимися тензорами с тремя и более про- странственно-временными индексами. Однако таких тензоров не существует, если не считать полных производных, поэтому безмассовые частицы с большими спинами не могут порождать дальнодействующие силы.
* * *
Проблемы, с которыми мы столкнулись при построении 4-векторных полей для спиральностей ±1 и симметричных тензорных полей для спиральностей ±2, являются частными случаями более общих огра-
ничений. Чтобы увидеть это, рассмотрим проблему построения полей
* Åñëè θμ1 ...μN — тензорный ток, удовлетворяющий условию ∂μ θμ1 ...μN = 0, òî z d3x θμ1 ...μN — сохраняющаяся величина, преобразующаяся 1как тензор
ранга N – 1. Единственными сохраняющимися тензорами такого рода являются скалярные «заряды», связанные с различными непрерывными симметриями, и 4-вектор энергии-импульса. Сохранение любого другого 4-вектора или любого тензора более высокого ранга исключило бы возможность рассеяния на любые углы, кроме нулевого.
Задачи |
339 |
уничтожения безмассовой частицы со спиральностью s и операторов рождения античастицы со спиральностью –s, ãäå
s = B - A. |
(5.9.41) |
Например, компоненты (1, 0) и (0, 1) дираковского поля безмасовой частицы1 1 могут только уничтожать частицы со спиральностью
–1 è +1 и, соответственно, рождать античастицы со спиральностью + и – . В «двухкомпонентной»1 теории нейтрино рассматриваются только поле ( , 0) и сопряженное1ему поле, так что в этой теории спиральность1 нейтрино равна – , а спиральность антинейтрино равна + .
Теми же методами, что и в разделе 5.7, можно показать, что (j, 0) и (0, j) поля безмассовых частиц со спином j (т. е. со спиральностью еj) коммутируют друг с другом и со своими сопряженными на пространственноподобных расстояниях, если коэффициенты у слагаемых с операторами уничтожения ии рождения в (5.9.1) удовлетворяют соотношению (5.9.39). После этого можно так подобрать относительную фазу операторов уничтожения и рождения, чтобы эти коэффициенты стали равными. Легко видеть, что поля безмассовых частиц со спином j типа (А, А + j) или (В + j, В) являются просто производными порядка 2А или 2В полей типа (0, j) или (j, 0), соответственно, так что нет нужды рассматривать здесь такие более общие поля.
Теперь можно понять, почему нельзя построить векторное поле для безмассовых частиц со спиральностью1 1 ±1. Векторное поле
преобразуется по представлению ( , ), поэтому согласно (5.9.19) может описывать только спиральность нуль. (Конечно, можно построить векторное поле для нулевой спиральности — для этого достаточно просто взять производную ¶μj безмассового скалярного поля j.) Простейшее ковариантное безмассовое поле для спиральности ±1 преобразуется по представлению (1, 0) Å (0, 1).
Иными словами, это антисимметричный тензор fμν. Анало-
гично, простейшее ковариантное безмассовое поле для спиральности ±2 преобразуется по представлению (2, 0) Å (0, 2), ò. å.
это тензор четвертого ранга, который, как тензор кривизны Римана–Кристоффеля, антисимметричен при перестановке внутри каждой пары индексов и симметричен при перестановке самих этих пар.
340 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
Обсуждение операций инверсий Р, С, Т, проведенное в предыдущем разделе, с очевидными модификациями переносится на случай нулевой массы.
Задачи
1. Покажите, что если коэффициентные функции при нулевом импульсе удовлетворяют условиям (5.1.23) и (5.1.24), то коэффициентные функции (5.1.21) и (5.1.22) для произвольного импульса удовлетворяют определяющим условиям (5.1.19) и (5.1.20).
2. Рассмотрите свободное поле ylμ (x), которое уничтожает и рож-
дает зарядово самосопряженные частицы со спином 3/2 и массой m ¹ 0. Вычислите коэффициентные функции ulμ (p, s), на которые умножаются операторы уничтожения a(p,s) â âû-
ражении для этого поля, при условии, что под действием лоренцовских преобразований поле преобразуется как дираковское поле yl с дополнительным 4-векторным индексом m.
Каким полевым уравнениям, алгебраическим условиям и условиям действительности удовлетворяет это поле? Найдите матрицу Pμν(p), которая при p2 = –m2 определена равенством
å ulμ (p, σ)umν* (p, σ) ≡ (2p0 )−1 Plmμν (p) .
σ
Каковы коммутационные соотношения дляÐ ÑэтогоÒполя? Как оно преобразуется под действием инверсий , и ?
3. Рассмотрите свободное поле hμν(x), удовлетворяющее условиям hμν(x) = hνμ(x) è hμμ(x) = 0, которое уничтожает и
рождает частицу спина 2 и массой m ¹ 0. Вычислите коэффициентные функции uμν(p,s), на которые умножаются операторы уничтожения a(p,s) в выражении для этого поля, чтобы
под действием лоренцовских преобразований поле преобразуется как тензор. Каким полевым уравнениям удовлетворяет это поле? Найдите функцию Pμν,κλ(p), определенную ра-
венством
Список литературы |
341 |
å uμν (p, s)uκλ* (p, s) º (2p0 )−1 Pμν,κλ (p).
σ
Каковы коммутационные соотношения дляÐ этогоÑ Òполя? Как оно преобразуется под действием инверсий , и ?
4. Покажите, что для безмассовой частицы со спином j поля типа (А,А+j) или (В+j,В) являются производными порядка 2А или 2В полей типа (0,j) или (j,0), соответственно.
5. Выясните трансформационные свойства полей типа (j,0) + (0,j) безмассовых частицÐ Ñ ñîÒспиральностью ±j под действием опера-
ций инверсии , и .
6. Рассмотрите обобщенное дираковское поле y, которое преобразуется по представлению (j,0) + (0,j) однородной группы Лоренца. Перечислите тензоры, которые можно образовать из произведений компонент y è y†. Проверьте1результат, сравнив
с найденными нами выражениями для j = .
7. Рассмотрите обобщенное поле yab, описывающее частицы со спином j и массой m ¹ 0, которое преобразуется по (А,В)
представлению однородной группы Лоренца. Предположим, что гамильтониан взаимодействия этого поля имеет вид
V = z d3x[ψ ab (x)Jab (x) + Jab† (x)ψ†ab (x)] ,
ãäå Jab — внешний с-числовой ток. Каково асимпототическое поведение матричных элементов испускания этих частиц с энергией E . m и определенной спиральностью? (Предположите, что фурье-образ тока при разных a, b имеет значения одного порядка величины и не зависит сильно от Е.)
Список литературы
1. Подход, излагаемый в этой главе, был представлен в серии работ: Weinberg, S., Phys. Rev., 133, D1318 (1964); 134, B882 (1964); 138, B988 (1965); 181,1893 (1969). Аналогичный подход был