332 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
Тогда формулы (5.9.8) и 95.9.9) определяют их при произвольных импульсах. Уравнения для v являются комплексно сопряженными к уравнениям для u, так что при подходящем выборе постоянных k è l можно отнормировать коэффициентные функции так, чтобы
v |
l |
σ = u |
l (p, |
σ * |
. |
(5.9.16) |
(p, ) |
) |
Проблема в том, что для произвольных представлений однородной группы Лоренца не удается найти ul, удовлетворяющие (5.9.14). Более того, это не удается сделать даже для тех представлений, для которых при m ¹ 0 можно построить поля частиц данной спиральности.
Чтобы понять,1 1 в чем сложность, попробуем построить 4-векторное поле ( , ) для безмассовой частицы со спиральностью
±1. В 4-векторном представлении имеем просто:
Dμ ν (Λ) = Λμ ν .
Принято записывать коэффициентные функции через «вектор поляризации» eμ:
uμ (p, σ) ≡ (2p0)−1/2 eμ (p, σ), |
(5.9.17) |
так что из формулы (5.9.8) получаем |
|
eμ (p, σ) = L(p)μ ν eν (k, σ). |
(5.9.18) |
Далее, формулы (5.9.12) и (5.9.14) принимают вид: |
|
eμ (k, σ)eiσθ = R(θ)μ ν eν (k, σ), |
(5.9.19) |
eμ (k, σ) = S(α, β)μ ν eν (k, σ). |
(5.9.20) |
Из (5.9.19) следует, что с точностью до константы, которую можно включить в коэффициенты k è l,
eμ (k,±1) = (1, ± i, 0, 0) / |
2 |
. |
(5.9.21) |
Но тогда из (5.9.20) вытекает, что одновременно a ± ib = 0, что невозможно для произвольных действительных a è b. Поэтому
334 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
|
В частности, e0(k, ±1) = 0 è k×e(k,±1) = 0, поэтому |
||
e0 (p,±1) = 0 |
(5.9.26) |
|
p × e(p,±1) = 0 . |
(5.9.27) |
|
Отсюда |
||
a0 (x) = 0 , |
(5.9.28) |
|
Ñ × a(x) = 0. |
(5.9.29) |
|
Как мы увидим в гл. 9, этим условиям удовлетворяет вакуумный вектор-потенциал электродинамики в так называемой кулоновской или радиационной калибровке.
Обращение в нуль а0 во всех лоренцовский системах отсчета ярко показывает, что aμ не может быть 4-вектором. Из (5.9.22)
следует, что для произвольного импульса р и произвольного преобразования Лоренца L мы вместо (5.9.6) получаем
e |
μ |
± |
± θ |
Λ |
)) |
= |
D |
μ |
ν |
Λ |
)e |
ν |
(p, |
± |
+ |
p |
μΩ |
± (p, |
Λ |
), |
(5.9.30) |
(pΛ , 1) exp( |
i (p, |
( |
1) |
так что при произвольном преобразовании Лоренца
U(Λ)aμ (x)U−1(Λ) = Λμ νaν (Λx) + ∂μΩ(x, Λ), |
(5.9.31) |
ãäå W(x,L) — линейная комбинация операторов уничтожения и
рождения, точный вид которой нам не важен. Как будет детальнее показано в гл. 8, поле типа aμ(x) можно включать в состав лоренцинвариантных физических теорий, если взаимодействие поля aμ ñ
другими полями будут не только формально лоренц-инвариантны (т. е. инвариантны относительно формальных преобразований Лоренца, при которых aμ ® Lμνaν), но инвариантны и относительно «калибровочных» преобразований aμ ® aμ + ¶μW. Это достигается, если эти взаимодействия брать в виде aμjμ, ãäå jμ — 4-вектор тока, для которого ¶μjμ = 0.
Хотя не существует обычного 4-векторного поля безмассовых частиц со спиральностью ±1, нетрудно построить для таких частиц
антисимметричное тензорное поле. Из формулы (5.9.22) и условия инвариантности kμ относительно малой группы немедленно получаем:
5.9. Поля безмассовых частиц |
335 |
Dμρ aW(θ, α, β)fDνσ aW(θ, α, β)fckρeσ (k,±1) − kσeρ (k,±1)h |
(5.9.32) |
= e±iθ ckμeν (k,±1) − kνeμ (k,±1)h . |
Это показывает, что коэффициентная функция, удовлетворяющая соотношению (5.9.6) для антисимметричного тензорного представления однородной группы Лоренца при подходящем выборе нормировки имеет вид
uμν (p,±1) = i(2π)−3/2 (2p0 )−3/2 pμeν (p,±1) − pνeμ (p,±1) , (5.9.33)
ãäå eμ(p,±1) дается формулой (5.9.25). Используя это равенство вме-
сте с (5.9.23), получаем произвольное антисимметричное тензорное поле безмассовой частицы со спиральностью ±1 â âèäå
fμν = ∂μaν − ∂νaμ . |
(5.9.34) |
Заметим, что эта комбинация является тензором даже в том слу- чае, когда aμ не является 4-вектором, поскольку лишнее слагаемое
в (5.9.31) выпадает из (5.9.34). Заметим также, что из формул (5.9.34), (5.9.24), (5.9.28) и (5.9.29) следует, что fμν удовлетворяет
вакуумным уравнениям Максвелла
∂μ f μν= 0, |
(5.9.35) |
ερσμν∂σ fμν = 0. |
(5.9.36) |
Для того, чтобы установить коммутационные соотношения для тензорных полей, нам нужны формулы суммирования по спиральностям билинейных форм eμeν*. Используя явную формулу (5.9.21),
получаем
å ei (k, σ)ej (k, σ)* = δij − |
kikj |
|
, |
||
| k|2 |
||
σ =±1 |
||
откуда с помощью (5.9.25) находим:
å ei (p, σ)ej (p, σ)* = δij − |
pipj |
||
. |
(5.9.37) |
||
| p|2 |
|||
σ =±1 |
|||
336 |
Глава 5. Квантовые поля и античастицы |
Непосредственными вычислениями убеждаемся, что
[fmn(x), frs (y)† ] = (2π)−3 [−ηmr∂n∂s + ηnr∂m∂s + ηms∂n∂r − ηns∂m∂r ]
×z d3p(2p0 )-1 | κ|2 eip×x −| λ|2 e-ip×x .
(5.9.38)
Очевидно, что это выражение обращается в нуль при x0 = y0 тогда и только тогда, когда
| κ|2 = | λ|2 . |
(5.9.39) |
В этом случае, поскольку fμν — тензор, коммутатор обращается
в нуль для всех пространственноподобных интервалов. Из формулы (5.9.39) следует также, что коммутатор aμ обращается в нуль при
равных временах. Как будет видно в гл. 8, этого достаточно, чтобы получить лоренц-инвариантную S-матрицу. Относительные фазы операторов рождения и уничтожения можно подобрать так, чтобы κ = l. Тогда в случае, когда частицы совпадают со своими зарядово-
сопряженными, как у фотона, поля становятся эрмитовыми. Почему при построении теорий безмассовых частиц со спином 1
желательно использовать поля типа aμ(x), а не ограничиться полями типа fμν(x) с простыми свойствами лоренцовских преобразований?
Наличие производных в (5.9.34) означает, что плотность гамильтониана взаимодействия, построенная только из fμν и его производ-
ных, будет иметь матричные элементы, более быстро убывающие при малых энергиях и импульсах безмассовых частиц, чем те, которые построены с помощью векторного поля aμ. Соответственно,
взаимодействия в такой теории будут убывать на больших расстояниях быстрее, чем по обычному закону обратных квадратов. Такое вполне возможно, однако калибровочно-инвариантные теории, использующие векторные поля для описания безмассовых частиц со спином 1, представляют более общий класс теорий, включающий те, которые в действительности реализуются в природе.
Аналогичные замечания применимы к гравитонам — безмассовым частицам со спиральностью ±2. Из операторов уничтожения и рождения таких частиц можно построить тензор Rμνρσ с алгебраи-
ческими свойствами тензора кривизны Римана–Кристоффеля: антисимметричностью по перестановкам внутри пар μ, ν è ρ, σ,