Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

причем последнее слагаемое означает вычитание предыдущего выражения с перестановкой частиц 1′ è 2′ (или 1 и 2). В такой теории

не существует диаграмм второго порядка для бозон-бозонного рассеяния. Простейшими являются диаграммы четвертого порядка типа показанных на рис. 6.7.

Более конкретные примеры использования формул (6.1.27) и (6.1.28) будут приведены в разделе 6.3, после того, как мы вычислим пропагаторы и перейдем в импульсное пространство.

В предыдущем примере все три поля в гамильтониане взаимодействия (6.1.18) различны. Полезно рассмотреть пример также с трилинейным взаимодействием, но в котором все три поля одинаковы или, по крайней мере, входят симметричным образом.

Теория II

Пусть плотность гамильтониана взаимодействия есть сумма слагаемых, трилинейных по действительным бозонным полям ϕl(x):

связи.

Пусть мы хотим рассмотреть процесс рассеяния 12 → 1′2′ âî

втором порядке по этому взаимодействию. К каждой из двух вершин должны быть подсоединены по две из четырех внешних линий. (Единственная другая возможность − в том, чтобы к одной

вершине была подсоединена одна из внешних линий, а три другие были подсоединены ко второй вершине. Но в этом случае у вершины с тремя внешними линями не останется больше линий, чтобы соединить ее с первой вершиной, т. е. получится несвязная диаграмма.) Третья линия при каждой вершине должна соединять вершины друг с другом. Имеются три диаграммы такого типа (рис. 6.8), отличающиеся тем, какая внешняя линия подсоединена к той же вершине, что и линия 1. Это могут быть линии 2, 1′ èëè 2′.

Следуя сформулированным правилам, запишем вклад в S-матрицу от этих трех диаграмм:

ãäå F(x − y) − пропагатор скалярного поля, вычисленный в сле-

дующем разделе. В этой теории не существует вкладов третьего или любого нечетного порядка по H (x).

6.2. Вычисление пропагатора

Перейдем к вычислению пропагатора (6.1.14). Пропагатор — существенная составляющая фейнмановских правил, возникающая в результате спаривания поля ψl(x) с сопряженным полем ψm†(y).

Подставляя (6.1.15) и (6.1.16) в (6.1.14) и пользуясь соотношениями коммутации и антикоммутации для операторов уничтожения и рождения, находим:

−i lm (x, y) = θ(x − y)(2π)-3/2 z d3på ul (pσ n)um* (pσ n)eip×(x- y)

Вычисляя в гл. 5 коммутаторы и антикоммутаторы, мы показали, что

s

ãäå Plm(p,ω) − полином по р и ω. (Здесь, как и в (6.2.1), верхние и

нижние знаки относятся, соответственно, к бозонным и фермионным полям.) Например, если ψl(x) è ψm†(y) − скалярные поля ϕ(x) è ϕ(y) частицы спина 0, то

Åñëè ψl(x) è ψm†(y) − дираковские поля частицы спина 1/2, то

(6.2.2) и (6.2.3) определяют Р(р) только для 4-импульсов «на массовой оболочке», т. е. при значениях р0 º ± p2 + m2 . Любая полино-

миальная функция таких 4-импульсов всегда может рассматриваться как линейная по р0, так как любая степень (p0)2ν èëè (p0)2ν+1 может быть записана как (p2 + m2)ν èëè p0(p2 + m2)ν, соответст-

венно. Поэтому можно определить полином P(L)(q) условиями, что

ãäå Ð(0,1) - полиномы, зависящие только от q. Теперь можно вос-

пользоваться соотношениями

(напомним, что q(x) имеет единичный скачок при x0 = 0 и постоянна

в остальных точках), и переставить операторы производных в (6.2.8) и q-функциии:

ãäå DF — фейнмановский пропагатор, равный

Однако при x0 = 0 функция D+(x) четна по x, так как замена x ® -x в (6.2.9) может быть скомпенсирована заменой p ® -p

переменной интегрирования. Поэтому можно опустить второе слагаемое в (6.2.12) и записать просто

Полезнее всего использовать выражение для фейнмановского пропагатора в виде интеграла Фурье. Ступенчатые функции