Документ: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001), страницы 408-412

6.3. Правила в импульсном представлении

371

-iDlm (x, y) = q(x - y) yl (x), y†m	(y) ± q(y - x) y†m (y), yl (x)	.	(6.2.30)
	0	0
Часто эту формулу записывают в виде:
-iDlm (x, y) =	T{yl (x)y†m (y)} ,		(6.2.31)
	0

где Т — хронологическое произведение, определение которого распространено * теперь на все поля с учетом знака «минус» для любой нечетной перестановки фермионных операторов.

6.3. Правила в импульсном представлении

Изложенные в разделе 6.1. фейнмановские правила указывают, как вычислить вклад в S-матрицу данной диаграммы N-го порядка, который представляется в виде интеграла по N пространственновременным координатам от произведения зависящих от этих координат множителей. Линии конечной частицы (или античастицы) с импульсом p¢μ, выходящей из вершины с пространственно-времен- ной координатой xμ, отвечает множитель, пропорциональный exp(- ip¢×x). Линии начальной частицы с импульсом pμ, входящей в вершину с координатой xμ, отвечает множитель exp(+ip×x). В разделе 6.2

мы показали, что множитель, отвечающий внутренней линии, идущей от точки x к точке y, можно записать как интеграл Фурье по 4- импульсам qμ вне массовой поверхности, причем под интегралом стоит множитель exp(iq×(x - y)). Величину qμ можно понимать как 4-

импульс, текущий вдоль внутренней линии в направлении стрелки от y к x. Таким образом, интеграл по пространственно-временной координате в каждой вершине приводит к множителю

(2p)4 d4 (Sp + Sq - Sp¢ - Sq¢) ,

(6.3.1)

ãäå åp¢ è åp означают полный 4-импульс всех конечных или начальных частиц, выходящих или входящих в вершину, а åq¢ è åq обозна-

чает полный 4-импульс всех внутренних линий со стрелками,

* Это не противоречит предыдущему определению хронологически упорядоченных произведений плотностей гамильтониана в гл. 3, так как эти плотности могут содержать только четное число фермионных полей.

372	Глава 6. Фейнмановские правила

направленными от вершины и к вершине, соответственно. Конечно, вместо интегралов по xμ теперь необходимо брать интегралы по фурьепеременным qμ для каждой из внутренних линий.

Эти соображения приводят к новому набору фейнмановских правил для вычисления вклада в S-матрицу в виде интегралов по импульсным переменным (рис. 6.9).

1. Следует нарисовать все фейнмановские диаграммы желаемого порядка, как описано в разделе 6.1. Однако вместо того, чтобы помечать каждую вершину пространственно-временной координатой, нужно пометить каждую внутреннюю линию 4-импульсом вне массовой поверхности, текущим, по соглашению, в направлении стрелки (или в любом направлении для линий нейтральных частиц без стрелок).

2. Каждой вершине типа i следует сопоставить множитель

−i(2π)4 g	δ4 (Σp + Σq − Σp′ − Σq′) ,	(6.3.2)
i

где суммы по импульсам имеют тот же смысл, что и в (6.3.1). Дельтафункция обеспечивает сохранение 4-импульса в любой точке диаграммы.

Каждой внешней линии, выходящей вверх из диаграммы, сопоставляется множитель (2π)−3/2 ul*′ (p′σ′n′) или множитель (2π)−3/2 vl (p′σ′n′)

в зависимости от направления стрелки вверх или вниз. Каждой внешней линии, входящей снизу в диаграмму, сопоставляется либо множитель (2π)−3/2 ul (p σ n) , либо множитель (2π)−3/2 vl* (p σ n), также в

зависимости от направления стрелки вверх или вниз. Каждой внутренней линии, концы которой помечены индексами l и m, причем стрелка направлена от m к l, и которая несет 4-импульс qm, сопоставляется множитель, равный подынтегральному выражению в интеграле фурье-представления (6.2.18) для i lm(x,y):

−i(2π)−4 Plm (q)

/ (q	2	+	2	−	ε	) .	(6.3.3)
/ (q			ml		i	) .

Напомним, что для скаляров или антискаляров с 4-импульсом q величины u и v равны просто (2q0)-1/2, а полином P(q) равен единице. Для дираковских спиноров с 4-импульсом р и массой М величины u и v равны нормированным дираковским спинорам, описанным в разделе 5.5, а полином Р(р) равен матрице (−iγμpμ + M)β.

6.3. Правила в импульсном представлении

373

π	−3/2 u*	(p	′σ′n′	(2π)	−3/2 v	(p′σ′n′)
(2 )	l	(p	)		l
	a				á

(2π)−3/2 ul (pσn)	(2π)−3/2 vl* (pσn)
â	ã

ä

å

		−i	Plm (q)
		(2π)4	q2 + m2	− iε
δ3	(p′ − p)δσ′σδn′n		l
δ3	(p′ − p)δσ′σδn′n

Рис. 6.9. Графическое изображение спариваний операторов при вычислении S-матрицы в импульсном представлении. Выражения справа — те множители, которые отвечают каждой линии фейнмановской диаграммы в импульсном представлении

3.Произведение всех указанных множителей интегрируется по 4-импульсам всех внутренних линий и суммируется по всем полевым индексам l, m и т. д.

4.Результаты, полученные таким образом для каждой фейнмановской диаграммы, следует сложить.

374	Глава 6. Фейнмановские правила

Могут понадобиться дополнительные комбинаторные множители и связанные с фермионами знаки; соответствующие правила перечислены в пунктах 5 и 6 раздела 6.1. Примеры использования этих правил мы приведем в конце раздела.

Каждой внутренней линии соответствует 4-импульс, по которому проводится интегрирование. Однако многие из этих интегрирований снимаются дельта-функциями, отвечающимис вершинам. Так как энергия и импульс сохраняются для каждой связной части фейн-мановской диаграммы по-отдельности, то в диаграмме с С связными частями останется С дельта-функций. Отсюда в диаграмме с I внут-ренними линиями и V вершинами число независимых 4- импульсов, не зафиксированных дельта-функциями, равно I − (V −

C). Очевидно, этому же равно число L независимых петель,

L = I − V + C,

(6.3.4)

которое определяется как максимальное число внутренних линий, которые можно разрезать, оставляя связной каждую связную часть полной фейнмановской диаграммы, поскольку любым таким и только таким внутренним линиям можно приписать независимый 4-им- пульс. Можно считать, что независимые импульсные переменные характеризуют импульсы, циркулирующие в каждой петле. В ча- стности, древесная диаграмма не содержит петель. В такой диаграмме после учета всех дельта-функций не остается интегралов по импульсам.

Например, в теории с взаимодействием (6.1.18) матричный элемент (6.1.27) фермион−бозонного рассеяния согласно правилам

Фейнмана в импульсном представлении будет иметь вид

Sp′σ′ n′ p′				σ′ n′		,p σ		n	p	σ	n	=
1	1	1	2	2	2	1	1	1	2	2		2
=	å			(−i)2 (2π)8g									g u*	(p′σ′ n′ )u		(p σ	n )
	å									l′m′k′			lmk l′	1 1 1	l	1 1	1

k'l′m′klm

F

× z d4qG −

H

i(2π)	−4			Pm′m (q)		I
		q	2	2		J

				+ mm	− iε K

× (2π)

−6 [u*

(p′ σ′ n′ )u

k

(p

σ

2

n

2

)δ4

(q

− p

)δ4 (p

+ p

− q)

k′

2 2 2

2

1′

2′

1

2

+ u* (p′ σ′ n′ )u

k′

(p

σ

2

n

2

)δ4 (p

− p

+ q)δ4 (p

− p

− q)],

k

2 2 2

2

1′

1

2′

где индексы 1 и 2 относятся к фермионам и бозонам, соответственно.

6.3. Правила в импульсном представлении

375

Интеграл по импульсам в данном случае тривиален, так что

S

p′

σ′ n′

, p σ

n p

σ

n

= i(2π)−2 δ4 (p

+ p

− p

)

p′σ′ n′

2

1

2

1′

2′

1

2

1

2

×

å

g

g u*

(p′σ′ n′ )u

(p σ

n )

l′m′k′

mlk

l′

1 1 1

l

1 1

1

k'l′m′klm

L

Pm′m (p1 + p2 )

× M

u*

(p′ σ

′ n′ )u

(p

σ

n

)

k

2

M

(p

+ p )2 + m2

− iε

k′

2

2 2

2

(6.3.5)

N

1

2

m

+

Pm′m (p1 − p2′ )

u* (p′

σ′ n′ )u

σ

O

k′

(p

n

)P .

− p

)2 + m2

− iε

(p

k

2 2 2

2

P

1

2′

m

Q

Аналогично, матричный элемент

(6.1.28) фермион−фермион-

ного рассеяния в той же теории равен

S

p′

σ′ n′

,p

σ

n

p

σ

n

= i(2π)

−2 δ4 (p

+ p

− p

)

p′σ′ n′

2

1

2

1′

2′

1

2

1

2

Pk'k (p1 − p1′ )

×

å

gm′mk′gl′lk

(p

− p

)2 + m2

− iε

(6.3.6)

k'l′m′klm

1

1′

k

× u*

(p′

σ′ n′ )u* (p′σ′ n′ )u

m

(p

2

σ

2

n

2

)u

(p σ n )

− [1′ 2′] .

m′

2

2 2

l′

1 1 1

l

1 1 1

Из вида этих результатов вытекает необходимость более компактных обозначений. Можно определить фермион-бозонную матрицу констант связи

[Γk ]lm ≡ glmk .

(6.3.7)

Матричные элементы (6.3.5) и (6.3.6) для фермион-бозонного и фермион-фермионного рассеяния соответственно переписываются в матричных обозначениях следующим образом:

S				σ′ n′		,p σ		n	p	σ	n	= i(2π)	−2 δ4 (p	+ p	− p′	− p′ )
p′σ′ n′ p′				σ′ n′		,p σ		n	p	σ	n	2	1	2	1	2
1	1	1	2	2	2	1	1	1	2	2		2

LF

P(p

+ p )

I

×

å MG

u† (p′σ′ n′ )Γ

1

2

Γ

u(p σ

n )

2

1 1 1

k′

(p1 + p2 )

+ M

− iε

k

1 1 1

J

k′k MH

K

N

× u*

(p′

σ′ n′ )u

k

(p

σ

2

n

2

)

k′

2

2 2

2

F

P(p

− p

)

I

(6.3.8)

+

G

u† (p′σ′ n′ )Γ

1

2′

Γ

u(p σ

n )

2

1 1 1

k′

(p1 − p2′ )

+ M

− iε

k

1 1 1

J

H

K

×u*

(p′ σ′ n′ )u

k′

(p

σ

2

n

2

)O,

k

2

2 2

2

P

Q

Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Смотрите также: