Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

содержит только положительно- или только отрицательно-частот-

В связи с этим выражением возникает одна очевидная проблема. Полином Р(р) лоренц-ковариантен, когда р находится на массовой оболочке, p2 = −m2, но интегрирование в (6.2.18) производится по всем qμ, не ограниченным массовой оболочкой. Полином P(L)(q) определен для произвольных qμ таким образом, что он линеен по q0. Очевидно,

это условие не лоренц-ковариантно, если только полином не линеен и по каждой пространственной компоненте qi. Однако всегда можно определить расширение полинома Р(р) на произвольные 4-импульсы qμ, которое мы обозначим просто P(q), таким образом, чтобы при любых qμ полином P(q) был явно лоренц-ковариантен:

ãäå Λμν − общее преобразование Лоренца, а D(Λ) − соответствующее

представление группы Лоренца. Например, для скалярного, дираковского и 4-векторного полей эти ковариантные расширения полу- чаются очевидной заменой pμ на произвольный 4-вектор qμ â (6.2.4),

(6.2.5) и (6.2.6). Для скалярного и дираковского полей полиномы уже линейны по q0, и в этих случаях нет разницы между P(L)(q) è P(q):

Plm(L) (q) = Plm (q) (скалярное и дираковское поля). (6.2.19)

В то же время для векторного поля частицы спина 1 00-компонента ковариантного полинома Pμν(q) ≡ ημν + m–2qμqν êâàä-

ратична по q0, так что в этом случае есть разница:

(Здесь дополнительное слагаемое определяется двумя условиями: оно должно компенсировать слагаемое (q0)2 â P00(q) и должно обращаться в нуль, если qμ находится на массовой оболочке.) Подста-

новка последнего выражения в (6.2.18) приводит к следующему виду пропагатора векторного поля:

(6.2.21)

Первое слагаемое явно ковариантно, а второе, хотя и нековариантно, но локально, так что его можно компенсировать добавлением локального нековариантного слагаемого в плотность гамильтониана. Конкретно, если взаимодействие Vμ(x) с другими полями описывается слагаемым Vμ(x)Jμ(x) в H(x), то наличие второго

слагаемого в (6.2.21) сведется к появлению эффективного взаимодействия

-iHýôô (x) = 1 [-iJμ (x)][-iJν (x)][-im−2d0μd0ν ] . 2

(Множители -i всегда1 сопровождают вклады вершин и пропагато-

ров. Множитель необходим потому, что возможны два способа спаривания других полей с H’ýôô(x), отличающиеся перестановкой Jμ è Jν.) Итак, вклад нековариантного второго слагаемого

в (6.2.21) можно компенсировать, добавив к H(x) нековариантное слагаемое

Именно сингулярность одновременных коммутаторов векторных полей на малых расстояниях заставляет использовать более широкий класс взаимодействий, чем те, которые описываются скалярной плотностью. Детальное непертурбативное доказательство лоренц-инвариантности S-матрицы в этой теории будет дано в следующей главе.

Не нужно думать, что описанное явление связано только со спинами j ³ 1. Рассмотрим, например, векторное поле, связанное

с частицей спина j = 0 и равное (как обсуждалось в гл. 5) производ-

íîé ∂λϕ(x) скалярного поля. Для спаривания этого поля со скаляром ϕ†(y) полином Р(р) на массовой оболочке равен

в то время, как спаривание ∂λϕ(x) ñ ∂ηϕ†(x) приводит к полиному

Для произвольных 4-импульсов qμ вне массовой поверхности ковариантные полиномы получаются подстановкой qμ вместо pμ â

формулы (6.2.23) и (6.2.24). Полином Pl(q) уже линеен по q0, так что в этом случае не возникает никакой разницы между Pl(q) è Pl(L)(q). Однако в случае (6.2.24) разница есть:

Как и выше, нековариантные вклады от второго слагаемого можно сократить, добавив к взаимодействию нековариантное слагаемое

ãäå Jμ(x) — в данном случае ток, на который умножается ∂μϕ(x) â

ковариантной части H(x).

Должно быть ясно, что (по крайней мере для массивных частиц) вклады нековариантных частей пропагатора всегда могут быть сокращены описанным способом путем добавления нековариантных локальных слагаемых в плотность гамильтониана. Это происходит потому, что числитель Plm(L)(q) в пропагаторе должен равняться ковариантному полиному Plm(q), когда qμ находится на

массовой оболочке, поэтому разность между Plm(L)(q) è Plm(q) должна содержать множитель q2 + m2. Этот множитель сокращает знаменатель (q2 + m2 − iε) во вкладе этой разности в (6.2.18),

поэтому выражение (6.2.18) всегда равно сумме ковариантного слагаемого и слагаемого, пропорционального дельта-функции d4(x - y) или ее производным. Вклад последнего слагаемого можно

компенсировать добавлением во взаимодействие слагаемого, квадратичного по токам, с которыми связаны спариваемые поля, или по их производным.

Далее мы будем молчаливо предполагать, что подобное слагаемое уже было включено во взаимодействие, и использовать ковариантный полином Plm(q) в пропагаторе (6.2.18), опуская индекс L.

Может показаться, что такая процедура достаточно произвольна. К счастью, в обсуждаемом в следующей главе канониче- ском формализме те нековариантные слагаемые в плотности гамильтониана, которые нужны для сокращения нековариантных добавок в пропагаторах, возникают автоматически. На самом деле, это является одной из причин введения канонического формализма

* * *

Прежде чем завершить этот раздел, полезно отметить некоторые другие определения пропагатора, эквивалентные (6.2.1), которые часто встречаются в литературе. Во-первых, взяв среднее по вакууму от (6.1.14), имеем:

(Здесь áAB...ñ0 означает среднее по вакууму (F0, AB . . . F0).) Êàê ψl+ (x) , òàê è ψm−†(y) при действии на вакуум дают нуль, поэтому

реально в пропагатор дает вклад только одно слагаемое в каждом коммутаторе или антикоммутаторе:

справа, а y− è y+† будут делать то же самое слева, поэтому везде в (6.2.29) можно заменить y+ è y− на полное поле y = y+ + y−: