Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

412 Глава 7. Канонический формализм

[F, Pn (x, t)]−	=	z	d3 yPm (y, t)		dFm (Q(t); y)	.	(7.3.19)
					dQn (x, t)

Åñëè Fm линеен, то из	(7.3.19)			вытекает, что P			преобразуется
контраградиентно по отношению к Qn.					n

В качестве первого примера преобразования симметрии рас-
смотрим пространственно-временные трансляции
Yl (x) ® Yl (x + e) = Yl (x) + eμ ¶μ Yl (x) .							(7.3.20)

Оно имеет вид (7.3.1) с четырьмя независимыми параметрами eμ è

соответствующими четырьмя функциями преобразования

Fμl = -i¶μ Yl .

(7.3.21)

Как следствие имеем четыре независимых сохраняющихся тока, которые принято объединять в тензор энергии-импульса Tμν:

¶μTμ ν = 0.

(7.3.22)

Отсюда можно вывести выражения для не зависящих от времени величин, равных интегралам по пространству от временных компонент отвечающих трансляциям «токов» (не путать с канонически сопряженными полевыми переменными Pn(x,t)):

Pν = z d3xT0ν ,			(7.3.23)
	d	Pν = 0 .	(7.3.24)

	dt

Лагранжиан инвариантен относительно пространственных трансляций, так что в соответствии с изложенными выше общими результатами можно сделать вывод, что пространственные компоненты Pν имеют вид

P º -z d3xPn (x, t)ÑQn (x, t) .

(7.3.25)

7.3. Глобальные симметрии

413

Используя одновременные коммутационные соотношения (7.1.30)-

(7.1.32) находим коммутаторы этого оператора с каноническими переменными — полями и сопряженными им импульсами:

P	n	x	, t)] = iÑQ	n	x	, t) ,	(7.3.26)
[ , Q	(		, t)] = iÑQ	(		, t) ,
[P, Pn (x, t)] = iÑPn (x, t) .							(7.3.27)

Отсюда следует, что для любой функции G от Q и P, которая не зависит явно от x, выполнено равенство

[P, G(x)] = iÑG(x) .

(7.3.28)

Эти результаты показывают, что P действительно является оператором пространственных трансляций.

В противоположность этому, трансляции по времени не оставляют лагранжиан L(t) инвариантным. Однако мы уже знаем вид генератора временных трансляций. Это гамильтониан Р0 º H,

который, как известно, удовлетворяет коммутационному соотношению

	G		= - G
[H,		(x, t)]	i &(x, t) .	(7.3.29)

для любой функции G от гейзенберговских операторов.

Если предположить далее, что лагранжиан равен интегралу от плотности лагранжиана, то можно получить явную формулу для тензора энергии-импульса Tμν. Однако плотность лагранжиана L (x)

неинвариантна относительно пространственно-временных трансляций, так что в этом случае нельзя использовать формулу (7.3.15). Вместо этого заметим, что при трансляции, зависящей от про- странственно-временной точки,

Yl (x) ® Yl (x + e(x)) = Yl

изменение действия имеет вид

dI[Y] =	z	F	¶L		eμ ¶μ Yl +
		d4xG
			¶Y	l
		H

(x) + eμ (x)¶μ Yl (x),

L		I
¶		¶ν [eμ¶μ Yl ] .
l		¶ν [eμ¶μ Yl ] .
l	)	J
¶(¶νY	)	K

(7.3.30)

(7.3.31)

414	Глава 7. Канонический формализм

В силу уравнений Эйлера−Лагранжа (7.2.9) слагаемые, пропорциональные ε, собираются в выражение * εμ∂μL, òàê ÷òî

F ∂L

δI[Ψ] = z d4xG ∂ μ

H x

εμ + ∂L ∂(∂νΨl )

l	∂νε	μ I	(7.3.32)
∂μ Ψ	∂νε	J .	(7.3.32)
		K

Интегрируя по частям, видим, что это соотношение принимает форму (7.3.4):

δI = −z d4x Tνμ∂νεμ ,				(7.3.33)
где «токи» имеют вид **:
Tνμ = δμν L −	∂L		∂μ Ψl .
				(7.3.34)
	l			(7.3.34)
	∂(∂νΨ	)

В качестве проверки заметим, что пространственные компоненты интегралов движения (7.3.23) совпадают с нашей прежней формулой (7.3.25) для Р, а для μ = 0 формула (7.3.23) приводит к

обычному выражению для гамильтониана:

	z		L	& n	O
H ≡ −P =		3	xM	& n	− L P .
H ≡ −P =		d	xM	P Q	− L P .	(7.3.35)
0			Må n		P	(7.3.35)
			N n		Q

(Предупреждение: тензор Tμν, полученный поднятием индекса в

(7.3.34), в общем случае несимметричен, и поэтому не может

* Здесь, видимо, недоразумение: слагаемые, пропорциональные ε, собираются в выражение εμ∂μL, ãäå ∂μ символизирует полную производную

L (x) как сложной функции x, безотносительно к уравнениям движения (7.2.9). Если же воспользоваться этими уравнениями с самого начала, то подынтег-ральное выражение собирается в полную дивергенцию

F	∂L			μ	l I
∂ν G			ε		∂μ Ψ J ,
∂ν G		l	ε		∂μ Ψ J ,
H ∂Ψ					K

èвариация δI исчезает, как и положено. — Прим. ред.

**Этот вид нетеровских токов Tνμ непосредственно следует из теоремы

Нетер в той формулировке, которая дана в прим. ред. на с. 409. Достаточно

заметить, что при трансляциях с постоянным εμ вариация L имеет вид полной дивергенции: δL = εμ ∂μ L = ∂μ eεμ L j = ∂ ν eεμδμν L j. — Ïðèì. ðåä.

7.3. Глобальные симметрии

415

входить в правую часть полевых уравнений общей теории относительности. Правильный симметричный тензор энергии-импульса Θμν, который можно использовать как источник гравитационного

поля, вводится в следующем разделе.)

Во многих теориях имеется один или несколько дополнительных принципов симметрии, утверждающих инвариантность действия относительно некоторых линейных не зависящих от координат преобразований как канонических полей

Qn (x) → Qn (x) + iεa (t )n Qm (x) ,	(7.3.36)
a m

так и любых вспомогательных полей Cr:

Cr (x) → Cr (x) + iεa (τa )rs Cs (x) .

(7.3.37)

Здесь ta è τa − наборы эрмитовых матриц, реализующих некоторые

представления алгебры Ли группы симметрии, и подразумевается суммирование по повторяющимся групповым индексам a, b, и т. д. (Например, подобная симметрия существует в электродинамике, когда единственная матрица tnm диагональна, причем на главной диагонали стоят заряды соответствующего поля.) Каждая такая симметрия порождает свой набор сохраняющихся токов Jaμ :

∂μ Jaμ = 0 ,

(7.3.38)

временные компоненты которых являются плотностями не зависящих от времени операторов

Ta = z d3x Jμa .

(7.3.39)

Если не только действие, но и лагранжиан инвариантны относительно преобразований (7.3.36), то из (7.3.11) вытекает явная формула для Ta:

Ta = −iz d3 x Pn (x, t) (ta ) nm Qm (x, t) .

(7.3.40)

Тогда из одновременных коммутационных соотношений следует, что

416 Глава 7. Канонический формализм

[T , Qn (x)] = −(t	a	) n	Qm (x) ,	(7.3.41)
a	a	m
[T , P (x)] = −(t	a	) m	P (x) .	(7.3.42)
a n	a	n	m

(В случае, когда оператор ta диагонален, отсюда следует, что операторы Qn è Pn, соответственно, понижают и повышают значение Ta на величину, равную n-ому диагональному элементу ta.) Эти формулы позволяют вычислить коммутаторы генераторов друг с другом:

[Ta , Tb ]− = iz d3x −Pm (ta )mn(tb )nk Qk + Pn (tb )nk (ta )kmQm . (7.3.43)

Соответственно, если матрицы ta образуют алгебру Ли со структурными константами fabc,

[ta , tb ]− = ifab c tc ,

(7.3.44)

это же верно и для квантовых операторов Ta:
[Ta , Tb ]− = ifab c Tc .	(7.3.45)

Этот результат подтверждает правильную нормировку операторов (7.3.40) как генераторов группы симметрии.

Если лагранжиан есть интеграл от плотности лагранжиана, которая инвариантна относительно преобразований (7.3.36) и (7.3.37), можно продвинуться дальше и получить с помощью (7.3.15) явные формулы для токов, соответствующихс этим глобальным симметриям:

J	μ ≡ −i	∂L		(t )n		Qm − i	∂L		(τ )r Cs .
										(7.3.46)
		∂(∂Qn	∂xμ )				∂(∂Cr	∂xμ )
	a			a	m				a s

В качестве иллюстрации предположим, что у нас имеется два действительных скалярных поля равной массы с плотностью лагранжиана

L = − 21 ∂μ Φ1∂μ Φ1 − 21 m2Φ12 − 21 ∂μ Φ2∂μ Φ2 − 21 m2Φ22 − H(Φ12 + Φ22 ) .

(7.3.47)

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280974

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)