Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

422 Глава 7. Канонический формализм

Kk =	z	d3x (xkΘ00	− x0Θ0k ) ,
Kk =		d3x (xkΘ00	− x0Θ0k ) ,
или подробнее
K = −tP + z d3x x Θ00 (x, t) .				(7.4.20)

Так как эта величина постоянна, имеем 0 = K& = −P + i[H,K], откуда

[H, K] = −iP.

(7.4.21)

Кроме того, еще раз применяя (7.3.28), находим:

			z		∂xj				z
[P , K		] = i		d3x xk	∂	Θ00	= −iδ			d3x Θ00
[P , K	k	] = i		d3x xk		Θ00	= −iδ	jk		d3x Θ00
j	k							jk
и поэтому				[Pj , Kk ] = −iδjkH .
				[Pj , Kk ] = −iδjkH .						(7.4.22)

Для любой разумной плотности лагранжиана оператор (7.4.20) будет «гладким» в смысле раздела 3.3, т. е. члены взаимодействия в

eiH0t “d3x x Θ00 (x,0) e− iH0t обращаются в нуль * при t → ±∞. (Заметим, что члены взаимодействия в eiH0t “d3x x Θ00 (x,0) e− iH0t должны обра-

щаться в нуль при t → ±∞ для того, чтобы можно было ввести

понятия «ин» и «аут» состояний и S-матрицы.) С учетом предположения о гладкости и коммутационных соотношений (7.4.21) можно повторить аргументы раздела 3.3 и заключить, что S-матрица лоренц-инвариантна.

* * *

Те же аргументы были использованы в разделе 3.3, чтобы убедиться, что остающиеся коммутационные соотношения группы Лоренца для компонент Jμν друг с другом имеют нужный вид. Это можно

* Когда говорят, что какой-то оператор в представлении взаимодействия обращается в нуль при t → ±∞, подразумевается, что в этом пределе обращаются

в нуль матричные элементы этого оператора между состояниями, являющимися гладкими суперпозициями собственных состояний оператора энергии.

7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры

423

проверить и непосредственно для коммутаторов генераторов вращений, которые имеют вид

Jij = z d3x	∂L	dxi∂jΨl − xj∂iΨl − i( J ij )lm Ψm i .	(7.4.23)
	∂Ψ& l

Так как плотность лагранжиана не зависит от производных по времени вспомогательных полей, а генераторы вращений не смешивают канонические и вспомогательные поля, можно записать это выражение как сумму только по каноническим полям:

Jij = z d3xPn dxi∂jQn − xj∂iQn − i( J ij )n n′ Ψn′ i .

(7.4.24)

Тогда из канонических коммутационных соотношений немедленно вытекает, что

[Jij , Qn (x)]−		= −i(xi∂j			− xj∂i )Qn (x) − ( J ij )n n′ Qn′ (x) ,						(7.4.25)
[Jij , P (x)]	−	= −i(x	∂	j	− x	∂	)P (x) + ( J ij )n	n	′ P	′ (x) ,	(7.4.26)
n	−	i		j	j	i	n	n	n

Эти результаты можно использовать для вывода обычных коммутационных соотношений Jij друг с другом и с остальными генераторами *. Если нет никаких вспомогательных полей, те же аргументы можно использовать и для генераторов «буста», завершив тем самым доказательство, что Pμ è Jμν удовлетворяют комму-

тационным соотношениям неоднородной группы Лоренца. Однако матрицы «буста» Ji0 в общем случае перемешивают канонические и вспомогательные поля (так же, как в случае компонент Vi è V0 векторного поля), поэтому прямое доказательство коммутационных соотношений Ji0 друг с другом приходится проводить отдельно в каждом случае. К счастью, это не требуется для приведенного в разделе 3.3 доказательства лоренц-инвариантности S-матрицы.

* Кроме того, поскольку операторы Jij коммутируют с Н и PnQ& n, îíè

коммутирует с L . Таким образом, коммутатор Jij со вспомогательными полями должен быть совместим с инвариантностью L относительно вращений.

424	Глава 7. Канонический формализм

7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры

В конце раздела 7.2 мы показали, как можно использовать лагранжиан простой теории скалярного поля для вывода структуры взаимодействия и тех свободных полей, которые содержатся в нем в представлении взаимодействия. Обратимся к более сложным и поучительным примерам.

Скалярное поле. Связь с производной

Прежде всего, рассмотрим скалярное поле, но на этот раз с взаимодействием с производными. Выберем лагранжиан в виде:

L = - 1	¶μ F¶μF - 1 m2F2	- Jμ¶μF - H (F) ,	(7.5.1)
2	2

ãäå Jμ - либо с-числовой внешний ток (не имеющий отношения к введенным выше токам Jμ), либо функционал от некоторых других, отличных от F, полей (в этом случае к (7.5.1) следует добавить

слагаемые, содержащие эти поля). Канонически сопряженный к полю F импульс имеет вид

			∂L	&	0
				&	0
	P =		&	= F - J		,			(7.5.2)
			¶F
а гамильтониан имеет вид
H = z d	&
H = z d	x[PF - L]
3
	L			+ 1 (ÑF)2		- 1	(P + J0 )2
= z d3xMP(P + J0 )				+ 1 (ÑF)2		- 1	(P + J0 )2
	N			2		2
								O
+ 1 m2F2 + J × ÑF + J0 (P + J0 ) + H (F)P .
2								Q
Группируя слагаемые, можно записать его в виде
		H = H0 + V ,							(7.5.3)
	L	1 P2 + 1 (ÑF)2					O		(7.5.4)
H0 = z d3xM		1 P2 + 1 (ÑF)2				+ 1 m2F2 P		,	(7.5.4)
	N	2		2		2	Q

7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры

425

L	+ J × ÑF + 1	(J0 )2	O	(7.5.5)
V = z d3xMPJ0	+ J × ÑF + 1	(J0 )2	+ H (F)P .	(7.5.5)
N	2		Q

Как объяснялось в разделе 7.2, переход к представлению взаимодействия осуществляется простой заменой P è F íà p è j (аналогич- но следует поступить и для всех полей , входящих в ток Jμ, íî ìû

не будем это явно выписывать):


H0	L	1 p2 (x, t) + 1 (Ñj(x, t))2		+ 1 m2j2	O
H0	= z d3xM	1 p2 (x, t) + 1 (Ñj(x, t))2		+ 1 m2j2	(x, t)P	,
	N2		2	2	Q

V(t) = z d3x p(x, t)J0 (x, t) + J(x, t) × Ñj(x, t)

+ 21 (J0 (x, t))2 + H (j(x, t)) .

(7.5.6)

(7.5.7)

Гамильтониан свободных частиц совпадает с (7.2.25) и приводит, как и в разделе 7.2, к уравнениям (7.2.26)-(7.2.35). Какой бы ни был

полный гамильтониан, мы должны выделить в нем слагаемое (7.5.6), называемое гамильтонианом свободных частиц, а оставшуюся часть считать взаимодействием, поскольку, как мы видели, именно эта форма гамильтониана свободных частиц приводит к правильному разложению (7.2.29) скалярного поля по операторам рождения и уничтожения. удовлетворяющим коммутационным соотношениям (7.2.34), (7.2.35). Заключительный шаг состоит в замене p в гамильтониане взаимодействия на его значение ϕ& в представлении взаимодействия (но не на его значение j& - J0 в гейзенберговском представ-

лении):

L	μ	(x, t)¶μj(x, t) + 1	(J0 (x, t))2	O	(7.5.8)
V(t) = z d3xMJ	μ	(x, t)¶μj(x, t) + 1	(J0 (x, t))2	+ H (j(x, t))P .	(7.5.8)
N		2		Q

Как мы видели в разделе 6.2, дополнительное неинвариантное слагаемое в (7.5.8) необходимо для сокращения неинвариантного слагаемого в пропагаторе поля ¶j.

Векторное поле, спин единица

Аналогичные результаты получаются при каноническом квантовании векторного поля Vμ для частицы спина единица. Не будем

426	Глава 7. Канонический формализм

вводить сначала никаких ограничений и запишем лагранжиан в достаточно общей форме

L = − 1 α∂

∂μ V

ν − 1 β∂

∂νV

μ − 1 m2V Vμ − J

Vμ

(7.5.9)

ãäå α, β è m2 — пока что произвольные константы, а Jμ — ëèáî

с-числовой внешний ток, либо оператор, зависящий от полей, отли- чных от Vμ (в этом случае в L следует добавить слагаемые, содержащие эти поля). Полевые уравнения Эйлера−Лагранжа для Vμ имеют вид

α9Vν + β∂ν (∂μ Vμ ) + m2 Vν = −Jν .

После взятия дивергенции получаем
(α + β)9∂λ Vλ + m2∂λ Vλ = −∂λ Jλ .	(7.5.10)

Это уравнение для обычного скалярного поля массой m2/(α+β) с источником ∂λJλ/(α+β). Мы хотим описать теорию, содержащую

только частицы спина единица, но не спина нуль. Поэтому, чтобы избежать появления ∂λVλ как независимо распространяющегося скалярного поля, нужно выбрать α = −β. Тогда ∂λVλ можно выразить через внешний ток или другие поля в виде −∂λJλ/m2. Константу α можно включить в нормировку поля Vμ, так что положим α = −β = 1.

В результате получим:

L = − 1 F Fμν − 1 m2V Vμ				− J	μ	V	μ ,	(7.5.11)
4	μν	2	μ		μ			(7.5.11)
		2

	Fμν ≡ ∂μ Vν − ∂νVμ .							(7.5.12)

Производная лагранжиана по производной по времени векторного поля имеет вид

∂L	= −F0μ .	(7 5.13)

& μ
∂V

Это выражение не равно нулю, если μ принимает пространствен-

ные значения i, так что Vi являются каноническими полями, а сопряженные им импульсы имеют вид

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/280974

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)