7.3. Глобальные симметрии |
417 |
Она инвариантна относительно линейного преобразования вида
(7.3.36):
δΦ1 = −εΦ2 , δΦ2 = +εΦ1 ,
так что существует сохраняющийся ток (7.3.46)
Jμ = Φ2∂μΦ1 − Φ1∂μΦ2 .
Явную формулу (7.3.46) для тока можно использовать для вывода других полезных коммутационных соотношений. В частности, поскольку плотность лагранжиана не содержит производных по времени от вспомогательных полей, имеем:
J0 |
= −iP |
(t |
)n |
m |
Qm . |
(7.3.48) |
a |
n |
a |
Поэтому можно получить одновременные коммутаторы канонических полей и сопряженных им импульсов не только с генераторами симметрии Ta, но и с плотностями Ja0:
[J0 |
(x, t), Qn (y, t)] = −δ3 (x − y)(t )n |
Qm (x, t) , |
(7.3.49) |
|||
a |
a |
m |
||||
[J0 |
(x, t), P |
(y, t)] = δ3 (x − y)(t )n |
m |
P (x, t) . |
(7.3.50) |
|
a |
m |
a |
n |
|||
Если вспомогательные поля построены как локальные функции от P и Q таким образом, что они преобразуются по представлению алгебры симметрии с генераторами τa, òî äëÿ íèõ
[Ja0 (x, t), Cr (y, t)] = −δ3 (x − y)(τa )r s Cs (x, t) . |
(7.3.51) |
Мы часто будем объединять (7.3.49) и (7.3.51) в одно коммутационное соотношение
[J0 |
(x, t), Ψl (y, t)] = −δ3 (x − y)(t |
a |
)l |
l′ |
Ψl′ |
(x, t) . |
(7.3.52) |
a |
В гл. 10 коммутационные соотношения вида (7.3.49)−(7.3.51) будут
использованы для вывода соотношений, известных как тожде-
ства Уорда, для матричных элементов операторов, включающих ток Jμ.
418 |
Глава 7. Канонический формализм |
7.4. Лоренцевская инвариантность
Мы собираемся теперь показать, что лоренц-инвариантность плотности лагранжиана влечет за собой лоренц-инвариантность S-матрицы. Рассмотрим бесконечно малое преобразование Лоренца
Λμ ν = δμ ν + ωμ ν , |
(7.4.1) |
ωμν = −ω νμ . |
(7.4.2) |
Согласно проведенному в предыдущем разделе анализу, инвариантность действия относительно таких преобразований немедленно влечет существование набора сохраняющихся «токов» Mρμν:
∂ρMρμν = 0, |
(7.4.3) |
Mρμν = −Mρνμ , |
(7.4.4) |
по одному току на каждую независимую компоненту ωμν. Интегра-
лы от временных компонент этих «токов» дают набор не зависящих от времени тензоров:
Jμν ≡ z d3x M0μν , |
(7.4.5) |
d |
J |
μν = 0 . |
(7.4.6) |
dt
Окажется, что величины Jμν являются генераторами однородной
группы Лоренца.
Хотелось бы получить явные формулы для тензора Mρμν,
однако преобразования Лоренца действуют на координаты и поэтому не могут оставить инвариантной плотность лагранжиана*.
*Для сравнения укажем, что формулировка теоремы Нетер, приведенная
âприм. ред. на с. 409, немедленно приводит к результату. Достаточно заметить, что вариация L, отвечающая бесконечно малым преобразованиям Лоренца
δxμ = ωμ xν имеет вид полной дивергенции:
ν ,
δL = δxμ ∂ L = ωμ xν∂ L = ∂ eωμ xν L j — Ïðèì. ðåä.
μ ν μ μ ν .
7. 4. Лоренцевская инвариантность |
421 |
следует, что тензор Белинфанте Θμν, в отличие от тензора Tμν, íå
только сохраняется, но и симметричен:
Θμν = Θνμ. |
(7.4.14) |
Именно Θμν, à íå Tμν, выступает как источник гравитационного поля.3 Как следствие симметрии Θμν, можно построить еще одну
сохраняющуюся тензорную плотность
Mλμν ≡ xμΘλν − xνΘλμ . |
(7.4.15) |
Она сохраняется в том смысле, что |
|
∂λ Mλμν = Θμν − Θνμ = 0. |
(7.4.16) |
Таким образом, лоренцовская инвариантность позволяет определить еще один не зависящий от времени тензор
Jμν = z M0μνd3x = z d3x (xμΘ0ν − xνΘ0μ ) . |
(7.4.17) |
Генератор вращений Jk = εijkJij/2 не просто не зависит от времени,
но не имеет явной зависимости от времени, поэтому он коммутирует с гамильтонианом:
[H, J] = 0 . |
(7.4.18) |
|||||||||||||||||||||
Кроме того, применяя (7.3.28) к функции Θ0ν, находим |
||||||||||||||||||||||
] = |
1 |
εilk |
lk |
] = |
i |
εilk |
z |
3 |
F |
l |
∂ |
Θ |
0k |
− x |
k ∂ |
Θ |
0l I |
|||||
[Pj , Jk |
[Pj , J |
d |
xG x |
J |
||||||||||||||||||
2 |
2 |
∂xj |
∂xj |
|||||||||||||||||||
z |
H |
K |
||||||||||||||||||||
= −ε |
ijk |
d3x Θ0k |
||||||||||||||||||||
и поэтому |
||||||||||||||||||||||
[Pj , Ji ] = −iεijkPk . |
(7.4.19) |
|||||||||||||||||||||
С другой стороны, генератор «буста» Kk ≡ Jk0 хотя и не зависит от
времени, но явно содержит временную координату: