Курсовая работа (т): Властивості періодів десяткових дробів

Властивості періодів десяткових дробів

КУРСОВА РОБОТА

Властивості періодів десяткових дробів

Вступ

Актуальність теми дослідження.

На перший погляд, періодичні дроби - це дуже просто, але скільки цікавого та загадкового вони містять в собі. Вперше ми зустрічаємося з ними ще в школі. В шкільній програмі вони вивчаються в курсі шостого класу, але при розв’язанні олімпіадних задач з властивостями періодичних дробів виникають проблеми, оскільки. потрібно знати не тільки найпростіше, але і деякі особливі властивості. Багато видатних учених намагалися знайти ці особливості та довести їх. Для видатного математика Йоганна Бернуллі пошук дільників реп’юнітів було одне із захоплень. Але реп’юніти цікавлять нас не самі, а в зв’язку з періодами десяткових дробів. Бернулі побачив зв'язок між ними і одночасно з таблицею дільників реп’юнітів надрукував огляд відомих на той час результатів періодичних десяткових дробів, які включали в себе просторову таблицю цих періодів.

В курсі вищої алгебри розглядаються лише окремі відомості, що стосуються періодичних дробів, а саме: перетворення раціонального дробу в періодичний десятковий. Однак доволі цікаві властивості періодичних дробів, які значно спрощують розв’язання багатьох олімпіадних задач, залишаються поза увагою.

Мета дослідження: ознайомитись із деякими властивостями періодів десяткових дробів. Відповідно до мети було поставлено наступні завдання:

)        Розглянути застосування конгруенцій до перетворення звичайного дробу в десятковий

)        Ознайомитись із деякими цікавими властивостями періодів десяткових дробів

)        Підібрати приклади для ілюстрації теорії

)        Довести Велику теорему Ферма для

Об’єкт дослідження: періодичні дроби.

Предмет дослідження: властивості періодичних дробів.

Робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаної літератури. Загальний обсяг роботи 27 сторінок.

1. Перетворення звичайного дробу в десятковий за допомогою конгруенцій

ферма дріб десятковий конгруенція

Означення 1

Періодичним десятковим дробом називається нескінченний дріб

для якого існують такі натуральні числа , що  для всіх натуральних чисел .

Розглянемо приклади:

.        Дріб 2,5436436…=2,5(436) - періодичний, де m=2, а L=3

.        Дріб 8,33333…=8,(3) - періодичний, де m=1, а L=1

Означення 2

Періодичний десятковий дріб називається чистим періодичним дробом, якщо його період (група цифр, що повторюється) починається одразу після коми, тобто коли m=1.

Означення 3

Якщо періодичний десятковий дріб містить ще число між цілою частиною і періодом, то такий періодичний дріб називається мішаним.

Повернемося до наших прикладів. В першому прикладі дріб 2,5436436…=2,5(436) - мішаний, тому що між цілою частиною і періодом знаходиться цифра 5. А дріб другого прикладу чистий, бо період починається відразу після цілої частини.

Нехай  - звичайний дріб, а, b, (а, )=1 та а < b. Залежно від того чи входять до канонічного розкладу b числа 2 та 5, можливі 3 різні випадки:

1)      

2)      

3)      

Розглянемо ці випадки.

Теорема1

Дріб  перетворюється у скінченний десятковий дріб тоді і лише тоді, коли . При цьому кількість десяткових знаків після коми дорівнює більшому із чисел .

Доведення.

Необхідність. Нехай дріб  перетворюється у скінченний десятковий дріб:  Тоді можемо записати: . Після скорочення дробу  в канонічному розкладі знаменника можуть бути лише прості числа 2 та 5, тобто .

Достатність. Нехай . Якщо , то  - скінченний десятковий дріб і в ньому α десяткових знаків після коми.

Якщо , то - скінченний десятковий дріб і в ньому  десяткових знаків після коми. Теорему доведено.

Теорема2

Якщо в канонічному розкладі знаменника дробу  немає чисел 2 та 5, то дріб перетворюється в чистий періодичний дріб; при цьому число цифр у періоді дорівнює порядку числа 10 за модулем b.

Доведення.

Перетворити дріб  в десятковий означає представити його у вигляді:

Де  За теоремою 1 дріб буде нескінченним.

В силу того, що

Першу цифру  можна знайти як неповну частку від ділення числа  на . Друга цифра - це неповна частка від ділення числа 10() на , оскільки

.

Перепишемо у вигляді рівностей:

,

,

де  - неповні частки, а - остачі від ділення на число . Жодна із остач не може дорівнювати нулю, оскільки тоді дріб був би скінченним. Крім того, , тому в системі рівностей(1) остачі будуть повторюватись не пізніше ніж через  кроків.

За умовою  Тоді з першої рівності системи (1) випливає, що , звідки  для всіх тобто всі  належать до ЗСЛ().

Нехай - порядок числа 10 за модулем . Оскільки кожна з остач  (в тому числі ) належать до ЗСЛ(), то конгруенція  рівносильна наступним конгруенціям:

Це означає, що через  кроків ділення всі остачі будуть повторюватись і першою повториться остача . Відповідно будуть повторюватись і неповні частки.

Таким чином, дріб буде чистим періодичним, і кількість цифр у періоді дорівнюватиме . Теорему доведено.

Теорема3

Якщо канонічний розклад числа  має вигляд

, то дріб перетворюється у мішаний періодичний; при цьому кількість цифр до періоду дорівнює , а кількість цифр у періоді-порядку числа 10 за модулем с.

Доведення.

Нехай  Розглянемо дріб:

Оскільки ,c, то  Якщо  в силу теореми 2,

Тобто твердження теореми виконується.

Якщо , то , де - ціла частина числа , , В силу теоремі 2,  звідки  Оскільки , то дріб  отримаємо перенесенням в числі  коми вліво на  цифр.

Теорему доведено.

Ми ознайомилися, з трьома видами періодичних дробів, але навряд чи хтось уявляє скільки несподіванок містять в собі ці дроби. Розглянемо три приклади періодичних дробів:

Не важко замітити, що у дробів  період починається відразу після коми і складається з шести цифр (142857 і 076923 відповідно), а у дробу  він починається з третьої цифри після коми складається з однієї цифри-3. Розглянувши уважно періоди чисел  можна помітити ще одну закономірність. А саме, покладемо N = 142857 (період дробу ) і будемо послідовно множити N на 2,3,4,…:

2N=285714,

N=428571,

N=571428,

N=714285,

N=857142,

N=999999.

Не важко помітити, що перші п’ять чисел утворюються з числа N «шляхом круговою перестановкою» цифр n цифр з кінця «переїжджають» на початок);

А число 7N складається з одних дев’яток. Тепер теж саме зробимо з дробом  (N =076923):

N=153846,

N=230769,

N=307692,

N=384615,

N=461538,

N=538461,

N=615384,

N=692307,

N=769230,

N=846153,

N=923076,

N=999999.

Як, бачимо в цьому випадку виходить трішки по-інакшому, але все одно дуже цікаво:п’ять з цих чисел (3N, 4N, 9N, 10N, 12N) отримується з числа N круговою перестановкою цифр, інші шість чисел(2N, 5N, 6N, 7N, 8N, 11N) отримуються з числа N шляхом кругової перестановки цифр один із одного, і звісно, число 13N складається лише з одних дев’яток.

Можемо спостерігати ще одну цікаву річ, якщо взяти будь-які із виписаних вище шестизначних чисел, крім 999999, «розламати» його на два трьох значних числа і знайти суму цих половинок, то отримаємо 999.

Наприклад, 142+857=999 і т.д.

Дійсно, періодичні дроби містять в собі багато загадкового. Деякі з цих загадок не розв’язані й досі. Багато математиків намагалися вирішити цю проблему, розглянемо деяких таких робіт.

2.1 Захоплення Йоганна Бернуллі

Відомий швейцарський математик, професор Гронінгенського (з 1695) і Базельського (з 1705) університетів, почесний член Петербурзької АН. Займався, можна сказати,«дитячою грою»! Він розкладав на прості множники числа, які записуються одними одиницями: 11=11, 111=3∙37, 1111=11∙101 і т.д. В 1773 році Бернуллі поміщає в працях Берлінської академії таблицю простих дільників чисел, складених із n одиниць,- до n=31.

Незважаючи на те, що йому вдалось знайти дільники для деяких чисел цього виду (n=11,17,29), а для трьох чисел (n=20,25,27) розклад не доведено до простих множників, не зважаючи на деякі помилки з його боку (для n=22,24,26), ми сьогодні можемо тільки схилятись перед гігантською працею вираховування простих множників цих великих чисел.