Курсовая работа (т): Властивості періодів десяткових дробів

Теорема 4.

Нехай N є ціле число (запис якого, можливо, починається нулем або декількома нулями), і нехай  є число, яке складається останніми  цифрами числа N. Припустимо, що при перенесенні  знаків із кінця числа N на початок воно перетворюється в число , де  ціле. Тоді періодичний десятковий дріб 0,NNN… дорівнює  (Останній дріб може бути скоротним)

Доведення: Нехай  - число знаків числа N, при перенесенні  знаків із кінця числа N на початок воно перетворюється в число  таким чином,

що потрібно було й довести.

Отримані міркування можна застосувати до розв’язання наступної олімпіадної задачі.

Задача. Знайти всі шестизначні числа, які збільшуються в ціле число раз при перенесенні останньої цифри із кінця на початок.

Ми будемо рахувати, як це звичайно ділиться, що число починається не з нуля; вирішити задачу ми можемо і без цього припущення, але відповідь буде дуже громіздким: він буде включать в себе числа 000001, 000002,…, 000009, 000011, 000013… Ми будемо також розуміти слово «збільшується» буквально, тобто виключимо випадок, коли число залишається при перенесенні цифри незмінним; в іншому випадку у відповідь увійшли б числа 111111, 222222, …, 999999.)

Розв’язання Нехай А - остання цифра нашого числа, і нехай при її перенесенні на початок число збільшується в  раз. Таким чином,

. За теоремою 4 наше число є шестизначний період (можливо він скорочується) дроби  Знаменник цього дробу до скорочення може бути одним із чисел 19,29,39, …, 89; після скорочення на однозначне число знаменник може перетвориться ще в 39:3=13, 49:7=7, 69:3=23. Так як період дробу шестизначний, знаменник повинен бути дільником числа 999999= (теорема 1). Це залишає для нього тільки три можливості: 7,13,39. Таким чином,  дорівнює 4 чи 5. При  =4 наш дріб дорівнює , де  (дріб повинен бути більше 0,1, оскільки період не повинен починатися з нуля). Період такого дробу є  (період дробу є 025641). При  = 5 дріб дорівнює  і повинна скорочуватися на 7, що залишає для неї єдину можливість: ; період дорівнює 142857.

Відповідь: 102564,128205,142857,153846,179487,205128,230769.

2.6 Ефект дев’яток

Теорема 5.

Нехай  - просте число, більше 5, і нехай . Припустимо, що період дробу  є - значне число N. Далі позначимо через  число, утворене першими n цифрами періоду, і через число, яке утворене його останніми n цифрами. Тоді = 999…999 ( дев’яток).

Доведення:

За умовою

Звідси,

Оскільки  є найменше  при якому  ділиться на , а так як  просте, то  взаємно просте з , Значить  ділиться на

. Але в той жеж час  - це  - значні числа, які не обидва складаються із одних девяток. Значить  і таким чином , що і потрібно було довести.

Зазначимо, що  використовувалося тільки в одному місці: виведено із цього, що  взаємно просте з . Зрозуміло, що взаємна простота може настати і при складеному q, так що закінчення даної теореми справедливе і при багатьом інших непростих знаменників.

2.7 Ще один ефект

Отримали знову наш період. Зробимо таке саме з період числа 1/17:

Отримали, правда, не наш початковий період, але число відмінне від нього на кругову перестановку цифр.

Аналогічно для періоду дробу 1/19.

3. Доведення Великої теореми Ферма для

3.1 Доведення Ойлера для n = 3

У своєму доведенні Останньої теореми Ферма при n = 3 Ейлер застосовує метод нескінченного спуску. Він показує, що якщо можна знайти додатні цілі числа x, y, z, що задовольняють рівнянню , то існують менші додатні цілі з такою ж властивістю; таким чином, у разі можливості розв'язання цього рівняння можна було б знайти спадаючу нескінченну послідовність таких трійок цілих додатних чисел. Зрозуміло, що такої послідовності не існує. Отже, не можна знайти таких чисел x, y, z.

Зрозуміло, що доведення Великої теореми достатньо провести для взаємно простих x і y, якщо  тобто , , і рівняння  зводиться до рівняння , де

Тоді можливі випадки:

а) x і y - обидва непарні, тоді z-парне.

б) одне з чисел x і y парне, а інше непарне, тоді z-непарне.

В будь-якому разі серед чисел x, y, z, одне парне, а два інші-непарні. Тому достатньо розглянути випадок, коли обидва числа x, y-непарні, оскільки якщо, наприклад, x- парне, то рівняння  зводиться до рівняння , в якому (-y) і z- непарні.

Нехай х і у непарні, тоді, очевидно,  звідки , причому з чисел  і  одне парне, а інше непарне Тоді маємо:  Залишається показати, що число  не може бути кубом цілого числа.

Припустимо, що , тоді , а отже, , звідки  Оскільки числа  і  мають різну парність, то  не ділиться на 2, а тому  Розглянемо рівність: Можливі випадки: а)  3 і б)

а)  3, тобто ()=1.Оскільки  то  звідки, , а отже, або або . Отже, добуток двох взаємно простих цілих чисел дорівнює кубу, тому кожен із множників є кубом.

Оскільки  є кубом, а числа , де не можуть мати спільного дільника виду (що Ойлер не перевіряє), він робить висновок, що кожний із цих множників є кубом: , звідки

Зауважимо, що оскільки - непарне, то зрозуміло, що -непарне, а - непарні

Іншого боку, , а отже, і  є кубом. Але множники  взаємно прості. Тому кожен із них є кубом. Нехай , тоді , причому  набагато менші за куби . Отже, якби для достатньо великих чисел x, y і z виконувалась рівність  завжди можна було б знайти менші числа f, g і h, для яких . Однак, як відомо, не існує таких кубів серед маленьких чисел, звідки випливає, що їх тим паче немає серед великих чисел.

б) . Тоді , б де оскільки  Повторюючи міркування пункту а), неважко показати,що і в цьому випадку висновок аналогічний.

.2 Доведення для n = 4 методом нескінченого спуску

Припустимо, що дано розв’язки x, y, z рівняння . Як і у випадку піфагорових трійок, можна з самого початку вважати, що x, y, z не мають спільних дільників, більших 1, і навіть що ніякі два з них не мають спільних дільників, більших 1. Дійсно, в іншому випадку з рівності  випливало б, що і третє з чисел має той самий дільник і рівняння можна скоротити на четвертий степінь цього дільника. Отже, числа ,  утворюють примітивну піфагорову трійку і, в разі необхідності міняючи місцями , можна написати

де  - взаємно прості числа протилежної парності . Друге з цих рівнянь можна записати у вигляді  і, оскільки  взаємно прості,  - примітивна пифагорова трійка. Таким чином,  непарне, і так як  мають протилежну парність, то  парне. Отже,

,

де  - взаємно прості числа протилежної парності і . Таким чином,

Це показує, що  є квадратом, а саме квадратом половини парного числа . Але  взаємно прості, оскільки будь-яке просте P, яке ділиться на , ділить  (по основній властивості простих чисел), але не обидва цих числа одночасно (так як  взаємно прості), і тому не може ділити . Отже, як , так і  повинні бути квадратами. Однак  є квадратом, а цілі  взаємно прості, тому як , так і  мають бути квадратами, скажімо . Отже,  є квадратом. Тепер для того, щоб привести в рух нескінченний спуск, достатньо зауважити, що з вихідного припущення  ми використовували лише те, що  є квадратом, а не четвертим степенем. Іншими словами, якщо  - такі додатні цілі, що - квадрат, то наведена вище послідовність кроків дає нову пару додатних цілих , таку, що  є квадратом. Крім того, . Тим самим ми вказали нескінченну спадну послідовність додатних цілих чисел, існування якої неможливо. Отже, сума двох четвертих степенів не може бути навіть квадратом, не кажучи вже про четвертий степінь. Це доводить Останню теорему Ферма для четвертого степеня.