Курсовая работа (т): Властивості періодів десяткових дробів

Протягом перших ста років, які пройшли з часу опублікування таблиці І Бернуллі, в неї не було внесені певні пояснення. В 1838 році Вестербкерг розклав на прості множники число з 11 одиниць - і це все. В 1879 році французький математик Едуард Люка находить прості дільники для n=17 і визнає, що ланцюжок із 19 одиниць не піддається розкладанню.

Цікавість до чисел, які складаються з одиниць, знову виникла в останні роки, в зв’язку з розвитком теорії арифметичних кодів, які є основою для реалізації методів завадостійкого кодування в комп’ютерній техніці. Наші загадкові числа, які протягом двохсот років з дня опублікування першої таблиці з їх дільниками набувають власне ім’я. В «Цікавій теорії чисел» її автор А. Бейлер, присвятив цім числам цілий розділ під назвою «111…1111», вводить для них термін «repunit» (скорочено від англійського repeated unit - повторення одиниць).

Математики і надалі продовжують штурмувати таблицю дільників реп’юнітів і до 1975 року n в таблиці вже досягає 3000 (С.Ейтс), але в ній ще достатньо багато білих плям. (На цей час частина цих білих плям ліквідована і знайдені дільники реп’юнітів до 162 - ого включно). Окрему цікавість представляють прості реп’юніти, пошук яких також продовжується. Вже доведено, що 19-й (1918 р.), 23-й (1929 р.), 317-й (1978 р.) і 1031-й (1985 р.) реп’юніти прості.

Але реп’юніти цікавлять нас не самі по собі, а в зв’язку з періодами десяткових дробів. Зв'язок між ними побачив ще Бернуллі, який одночасно з таблицею дільників реп’юнітів надрукував огляд відомих на той час результатів періодичних десяткових дробів, які включали в себе просторову таблицю цих періодів. Насправді цей зв'язок, як ми зараз побачимо, лежить на поверхні.

2.2 Дільники реп’юнітів і представлення звичайних дробів десятковим

Почнемо з трьох простих спостережень.

Спостереження 1.

Нехай число 999…999, складається з n дев’яток, ділиться на дане натуральне число m. Запишемо частку від ділення у вигляді п-значного числа: 999…999/, де декілька перші цифри  можуть бути нулями. ТодіДоведення

Спостереження 2.

Якщо число m не ділиться на 3, то подільність на m числа, яке складається з n дев’яток, рівносильна подільності на m числа, яке складається з n одиниць (тобто реп’юнітів).

Спостереження 3

Якщо число m не ділиться на 2 і на 5, то знайдеться реп’юніт, який ділиться на m.

Доведення. Будемо послідовно знаходити остачу від ділення на m чисел 1,11,111 і т.д. Послідовність цих остач нескінченна, але в той же ж час для них існує тільки m можливих значень (від 0 до m-1). Тому знайдуться два різних реп’юніти з однаковими остачами від ділення на m («принцип Дирихле»!) різниця цих реп’юнітів ділиться на m; і має вигляд

…111 000…000, тобто є похідною якогось реп’юніта на якусь степінь десятки 10^k. Але число m взаємно просте з 10^k, отже останній реп’юніт ділиться на m.

Звідси випливає важлива теорема.

Теорема1

Якщо натуральне число m не ділиться на 2 і на 5, то період десяткового дробу, дорівнює  починається відразу після коми, його довжина дорівнює найменшому n, при якому число, яке складається із n дев’яток ділиться на m, яке записане як n-значне число (можливо з нулями на початку). Якщо m не ділиться і на 3, то можна сказати що, довжина періоду дорівнює номеру першого реп’юніта, яке ділиться на m.

Все це вже нами доведено. З теореми випливає доволі цікавий наслідок.

Наслідки

1.Якщо m не ділиться на 2, 3 і 5, то період десяткового дробу, дорівнює , ділиться на 9.

.Якщо взаємно прості, то період десяткового дробу , має таку ж довжину, як період десяткового дробу

Проілюструємо дані твердження прикладами.

Приклад 1

Учень, перетворюючи дріб 1/11 в десятковий, отримав наступний результат: 1/11=0,(087). Довести, що учень допустив помилку.

Розв’язання. Оскільки 11 не ділиться ні на 2, ні на 3, ні на 5, то період повинен ділитися на 9. Але 087 не ділиться на 9. Отже, учень допустив помилку.

Приклад 2

Порівняйте довжину періоду дробі

Розв’язання.

Оскільки (3,17)=1, то за наслідком 2, довжина періоду дробу  дорівнює довжині періоду дробу . Отже довжини дробів однакові.

Приклад 3

Знайти при якому  період дробу  ділиться на 9. Вважайте, що не ділиться на 3.

Розв’язання. Так як  не ділиться на 3, тоді при будь-якому  період дробу  ділиться на 9.(наслідок 3)

Тепер почнемо вивчати залежність довжини періодів від знаменника. У вивченні цього нам допоможе теорема 1 та мала теорема Ферма.

На відміну від своєї «Великої теореми» П’єр Ферма цю теорему довів, він написав її в одному з листі, теорема формулюється так:

Якщо  - просте число і  - натуральне число, яке не ділиться на  то ділиться на.

Доведення:

За теоремою Ойлера ділиться на . Нехай , а  Підставивши дані, отримаємо:  ділиться на .

2.3 Довжина періоду дробу з простим знаменником

Теорема 2.

Якщо  є просте число, відмінне від 2 і 5, то довжина періоду дробу  є дільником числа  

Доведення Відповідно до теореми 1, довжина періоду є найменше число п таке, що число, яке складається з п дев’яток, ділиться на р. Водночас, за Малою теоремою Ферма число , тобто число, яке складається з  дев’яток, ділиться на . Потрібно довести, що  ділиться на . Якщо , то доводити немає чого; припустимо, що . Числа, які складаються з  і  дев’яток, діляться на ; доповнимо друге з них нулями до  - значного числа і знайдемо різницю отриманих чисел:

Це - число, яке складається із  дев’яток, і воно також ділиться на . Зробивши ще одне подібне віднімання, ми знаходимо, що на  ділиться число, яке складається із  дев’яток, потім - із  дев’яток і т.д. Зрештою ми прийдемо до числа, в якому дев’яток менше, чим , і тут є дві можливості, або це число взагалі буде нуль, але це якраз означає, що  ділиться на . Або в цьому числі дев’яток буде більше 0, але менше ; а це суперечить тому, що  - найменша можлива довжина чисел із дев’яток, які ділиться на . Теорема доведена.

Позначимо для чисел  через L(m) довжина періоду десяткового дробу, дорівнює . Доведено, що якщо  просте, то L(р) є дільником числа . Але який? Подивимося на таблицю І. Бернуллі. Бачимо, що L(3)=1, L(7)=6, L (13)=6, L (17)=16, L (31)=15, L (41)=5 і т.д. Зрозумілості не дуже багато.

З точки зору співвідношень між довжиною періоду дробу і самим  всі прості числа  розподіляють на три категорії:

.        «повно періодичні» прості, у яких довжина періоду на 1 менше знаменника: 7 (L=6), 17 (L=16), 19 (L=18), 23 (L=22), 29 (L=28) і т.д.

2.      прості з непарною довжиною періоду: 3 (L=1), 31 (L=15), 37 (L=3), 41 (L=5) і т.д.

3.      «неповно періодичні» прості з парною довжиною періоду: 11 (L=2), 13 (L=6), 73 (L=8), 89 (L=44), 101 (L=4) і т.д.

Кропітка робота математиків з виявлення якої - не будь закономірності в розташуванні цих груп серед всіх простих чисел стало несподіваним результатом. Було виявлено досить успішне співвідношення чисельності цих груп в пропорції 9:8:7; при цьому були використані таблиці довжини періодів для простих знаменників до 1370471 включно (С.Ейтс, 1975 р.). Були одержані і інші загальні результати, причому виявилось, що велике значення при визначенні довжини періоду з простим  має остачу від ділення числа  на …40. Наприклад, якщо ці остачі дорівнюють 3,27,31,39, то L=(р) парне, а якщо  парне. Але задача для визначення чисел L(р) для простих , як бачимо далека від розв’язання.

2.4 Випадки непростих знаменників

Вправа 4. Якщо  і  взаємно прості між собою і з 10, то L() є найменше спільне кратне чисел то L() і L().

Оскільки всяке натуральне число є добутком степенів простих, які між собою взаємно прості, останнє твердження зводить задачу обчислення довжини періоду до випадку, коли знаменник є степенем простого числа. А тут знову немає ясності: наприклад, L(3)=1, L(9)=1, L(7)=6, L(49)=42 и т.д.

Тепер потрібно залишити довжини періодів і звернутися до пояснення феноменів, які були виявлені на початку.

2.5 Ефект кругової перестановки

Нагадаємо, в чому він полягає. Ми бачили, що шестизначний період дробу при множенні на 2,3,4,5,6 піддається круговій перестановці: скільки - то цифр із кінця числа переїжджає на початок. По іншому веде себе при множенні на різні числа шестизначний період дробу ; саме… Втім, що саме з ним відбувається, ми можемо побачити. Якщо доведемо теорему.

Теорема 3.

Нехай N є період дробу  (записаний як число, можливо, який починається одним або декількома нулями), де  взаємно просте з 10, і нехай  є остача від ділення числа  на . Тоді число N виходить із числа N перестановкою  цифр із початку числа в кінець.

Доведення: Нехай M - ціла частина числа тобто =. Помножимо десятковий дріб на ; при цьому кома переїде на  позицією вліво. Ціла части одержаного числа - це . Відкинемо цілу частину. Одержимо число:

Це - періодичний десятковий дріб, період якого виходить із періоду дробу  кругової перестановки цифр:  цифр переїжджає із початку в кінець; але в той же ж час це число в  раз більше числа , а значить, і його період в  раз більше періоду числа  тобто N. Теорему доведено.

Якщо число  має -значний період, то доведена теорема все пояснює. Дійсно, круговою перестановкою цифр із періоду можна одержати  чисел (включаючи його самого), і всі ці числа різні. З іншого боку, коли множимо період на 1,2, … , ми також отримуємо  чисел; значить це в точності теж саме число. Якщо період коротше, то кругова перестановка цифр періоду N не вичерпують всіх чисел виду  з . Все, що можна сказати в цьому випадку - це що кругова перестановка чисел  завжди приводять до числа виду  - це доводиться так само, як теорема 3.