Материал: Здоровцева Г.Г. Контролируемая самостоятельная работа студентов по курсу «Общая физика». Тема «Механика точки»

10. Как по заданным в декартовой системе координат проекциям ускорений, начальному положению точки и её начальной скорости определить все остальные кинематические характеристики, перечисленные в п.5?

Примеры решения задач

Задача 1.1. Радиус-вектор точки A относительно начала коорди-

стоянные, i и j – орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки y(x), б) зависимость от времени скорости, ускорения и модулей этих величин, в) зависимость от времени угла ϕ между скоростью и ускорением.

Решение.

а) Уравнение движения точки А задано векторными способом. Для нахождения траектории необходимо знать, как меняются со временем координаты x(t) и y(t).

Выражая радиус-вектор через его проекции на оси координат

и сопоставляя (1) с заданным в условии задачи уравнением движения r = r (t) , заключаем

Чтобы получить уравнение траектории y = y(x), надо из уравнений (2) исключить время t. Используем метод подстановки. Выразим время t через координату x:

Уравнение траектории (3) получено. Это парабола с вершиной в

dt

6

Модуль скорости находим как квадратный корень из суммы

в) Угол между скоростью и ускорением проще всего, на наш взгляд, найти, если воспользоваться двумя способами раскрытия скалярного произведения векторов:

(ab) = abcosϕ = axbx + ayby ,

где a и b – любые два вектора, ϕ – угол между ними, ax и bx – проекции этих векторов на ось x; ay и by – проекции на ось y.

Резюме. Точка начинает двигаться из начало координат r(0) = 0

С течением времени угол ϕ между вектором скорости v , который направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения, и вектором ускорения a уменьшается, стремясь к нулю (по уравнению (8) cosϕ → 1 при t → ∞).

Итак, движение полностью описано.

траекторию, скорость, ускорение точки.

Решение. Движение точки задано координатным способом. Как и в предыдущей задаче, надо найти все основные кинематические характеристики. Чтобы найти уравнение траектории из кинематических уравнений движения исключаем время t.

7

Выразим t через х:

t = x ,

ленной под углом ϕ = arctg c к горизонтали, и дальше двигалась a

по ветви параболы с возрастающей по абсолютной величине скоростью. Модуль скорости v = a2 + (c + 2bt)2 .

Со временем угол ϕ между вектором скорости v и горизонталью увеличивается за счёт роста вертикальной составляющей скорости vy . Вдоль оси х проекция скорости vx остается постоянной.

Соответственно, наклон вектора скорости (наклон касательной) к оси x линейно возрастает с течением времени

tgα = vy = 2bt + c . vx a

Задача 1.3. Точка движется по окружности радиуса R по закону

l = v0t − 1 at2 . Найти скорость и ускорение точки.

2

8

Решение. Траектория точки известна. Движение задано естественным способом. l – длина, отсчитываемая от некоторой точки О на траектории: «криволинейная координата».

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в каждой ее точке, поэтому его можно представить как

Дифференцируем заданное уравнение движения точки – «криволинейную координату» – по времени и записываем вектор скорости

Из уравнения (2) проекция вектора скорости точки на тангенциаль vτ = (v0 − at) , а модуль скорости v = vτ = v0 −at .

Полное ускорение точки находим как сумму тангенциального и

нормального ускорений, т.е. как сумму его составляющих по направлениям τ и n :

ускорения на нормаль n .

Выполним преобразования и выразим проекции полного уско-

Модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:

Резюме. Материальная точка начинает (t = 0) свое движение из некоторой точки О на окружности, принятой за начало отсчёта, с начальной скоростью v(0) = v0. Поскольку aτ < 0, то материальная точка замедляет свое движение. В момент времени t =va точка останавливается (v(t) = 0) и затем продолжает движение уже в об-

9

ратном направлении (vτ = (v0 − at) < 0) с возрастающей по модулю скоростью.

Задача 1.4. Точка движется по дуге окружности радиуса R. Ее скорость зависит от пройденного пути s по закону v = αs , где α – постоянная. Найти угол ϕ между вектором полного ускорения a и вектором скорости v в зависимости от S.

Решение. Задача отличается нестандартной постановкой: уравнение движения не задано, его надо найти.

Поскольку известна траектория (окружность), то целесообразно описывать движение «естественным» способом. Найдём уравнение движения точки вдоль дуги окружности s = s(t).

Модуль скорости по определению v = ds . Он же по условию за- dt

дачи v = αs . Составим уравнение:

ds = αs . dt

Решаем это уравнение – разделяем переменные и интегрируем: ∫ dss = ∫αdt, 2s = αt + const.

Используем начальные условия для нахождения константы интегрирования. Поскольку длина дуги (путь) отсчитывается с момента начала движения, т.е. при t = 0, s = 0, получаем const = 0. То-

гда

2s = αt или s = α2 t . (1) 4

Уравнение движения точки получено.

Найдём ϕ. Вектор скорости направлен по касательной к траектории, поэтому искомый угол ϕ будет углом между векторами полного ускорения a и тангенциальной составляющей ускорения aτ :

10