Материал: Здоровцева Г.Г. Контролируемая самостоятельная работа студентов по курсу «Общая физика». Тема «Механика точки»

Нормальное ускорение an запишем по определению и выразим его через путь s по заданному в условии задачи модулю скорости:

После подстановки (3) и (4) в (2), получим

tgφ = 2s .

R

Задача решена.

Задача 1.5. Уравнения движения точки имеют вид x = Asin ωt, y = Bcosωt , где A, В и ω – постоянные. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение, а также модули скорости и ускорения. Указать направление движения точки по траектории.

Решение. Движение задано координатным способом. Характерная особенность этой задачи в том, что время в кинематических уравнениях движения входит под знак синуса и косинуса.

Чтобы найти уравнение траектории надо из уравнений движения исключить время. Сделаем это следующим образом.

Перепишем уравнения движения:

11

Траектория точки – эллипс с полуосями А и В.

Чтобы определить направление движения точки по траектории вернёмся к уравнениям движения. Из них следует, что в начальный момент (t = 0) точка имела координаты х(0) = 0, y(0) = В. При возрастании времени движения координата x = Asin ωt точки растёт, а координата y = Bcosωt – убывает. Из чего следует, что точка движется по траектории в направлении, указанном на рис. 1.4

стрелкой – «по часовой стрелке».

Рис. 1.4

Проекции скорости на оси координат

находим, дифференцируя по времени соответствующие координаты

направлена в положительном направлении оси х, что подтверждает сделанное ранее заключение о направлении движения.

Запишем вектор скорости точки через его составляющие:

dt

Полученное выражение можно записать короче, если ввести в

В любой точке траектории ускорение направлено к началу координат.

Возвращаясь к исходному выражению a , найдем модуль ускорения по его проекциям:

12

Задача решена.

Задача 1.6. Точка движется по дуге окружности радиуса R по закону l = Asin ωt , где l – расстояние, отсчитываемое от начального положения точки вдоль дуги, А и ω – постоянные. Найти скорость и ускорение в точках l = 0 и l = ± A.

Решение. Движение задано естественным способом. Особенность задачи в том, что надо найти скорость и ускорение не как функции времени, а в определённых точках траектории.

Находим проекцию скорости по определению:

Учитывая, что скорость направлена по касательной к траектории, записываем

Ускорение представляем суммой тангенциальной и нормальной составляющих:

Выражения (2) и (3) дают возможность вычислить скорость и ускорение в любой момент времени. Чтобы ответить на вопросы задачи, надо найти те моменты времени, в которые точка будет проходить начальное положение (l = 0) и моменты максимального удаление от него (l = ± A).

Найдём эти моменты времени.

В точке l = 0 движущаяся точка будет находиться всякий раз, когда sin ωt = 0 , т.е. при условии ωt = nπ , где n = 0, 1, 2, …

В точках l = ± A движущаяся точка будет находиться, когда

sin ωt = ±1 , т.е. при условии ωt = (2n +1) π , где n = 0, 1, 2, … 2

13

Получим скорость в заданных точках траектории, подставляя в

(2) соответствующие значения ωt .

В точке l = 0, v = ± Aωτ. Знак «+» соответствует условию, при котором ωt = 0, 2π, 4π, .... Знак «–» соответствует условию, при котором ωt = π, 3π, 5π, ... В точках l = ± A, v = 0 .

Найдем ускорения в этих характерных точках траектории, ис-

Резюме. Осмыслим результаты. Материальная точка выходит из начального положения l(0) = 0 и движется по дуге окружности между точками +A и –A.

В стадиях движения от начального положения к точкам ± A скорость v и тангенциальное ускорение aτ имеют противополож-

ные направления. Вследствие чего материальная точка тормозится и останавливается. Скорость в точках ± A обращается в ноль – они являются для нее «точками поворота». В ноль в этих точках обращается и нормальное ускорение.

После остановки материальная точка поворачивает назад. В стадиях движения от «точек поворота» к начальному положению скорость v и тангенциальное ускорение aτ сонаправлены –

скорость материальной точки увеличивается. Максимального значения скорость достигает при прохождении материальной точкой положения l = 0. В этой точке нормальное ускорение принимает максимальное значение, а тангенциальное обращается в ноль.

Задача 1.7. Движение точки задано уравнениями x = (v0 cosα0 )t,

скорости точки и горизонтом, g – ускорение свободного падения. Найти:

1)перемещение точки в функции времени,

2)средний вектор скорости v за первые t секунд движения;

14

3)траекторию точки;

4)координаты наивысшего положения точки;

5)проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси OX;

6)нормальное и тангенциальное ускорения точки для любого момента времени;

7)радиус кривизны траектории в начальный момент времени и

ввершине траектории.

Решение. Заданные уравнения представляют собой кинематические уравнения движения тела, брошенного с поверхности Земли с начальной скоростью v0 , составляющий угол α с горизонтом.

Эту задачу можно рассматривать как итоговую ко всей кинематике. Движение здесь задано координатным способом. Но поставленные вопросы требуют умения работать с величинами и понятиями, характерными не только для координатного способа, но и для векторного и естественного.

1. Перемещение по определению – приращение радиус-вектора. Из заданных уравнений движения следует, что точка движется из начала координат (при t = 0, x = 0, y = 0), поэтому

Эту запись можно упростить, если принять во внимание, что

Тогда перемещение примет вид

2. Средний вектор скорости по определению

v = ∆r .

∆t

Для первых t секунд (∆t = t) рассматриваемого движения

3. Уравнение траектории находим, исключая время из уравне-

x

ний движения. Из первого уравнения t = v0 cosα , подставляя это

15