Материал: 00464

Эйлеровы пути и циклы

Первая теорема теории графов была доказана задолго до того, как стало употребляться словосочетание "теория графов". В 1736 г. появилась работа Эйлера, в которой не только была решена предложенная ему задача о кенигсбергских мостах, но и сформулировано общее правило, позволяющее решить любую задачу такого рода. Интересно, что в одном из писем Эйлер писал по этому поводу:

"... это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека ..."

На языке теории графов задача состоит в том, чтобы определить, имеется ли в графе путь, проходящий через все его ребра (напомним, что путь, по определению, не может дважды проходить по одному ребру). Такой путь называется эйлеровым путем, а если он замкнут, то эйлеровым циклом. В графе, изображенном на рис. 3.5 а, эйлеров цикл существует - например, последовательность вершин , , , , , , , , , образует такой цикл. В графе же на рисунке 3.5 б эйлерова цикла нет, но есть эйлеровы пути, например, , , , , , , , , .

Рис. 3.5.

Рассмотрим сначала условия существования эйлерова цикла в обыкновенном графе. Ясно, что в несвязном графе эйлеров цикл может существовать только в том случае, когда все его ребра принадлежат одной компоненте связности, а все остальные компоненты - просто изолированные вершины. Поэтому достаточно рассматривать связные графы.

Теорема 5. Эйлеров цикл в связном графе существует тогда и только тогда, когда в нем степени всех вершин четны.

Доказательство.

Необходимость условия очевидна, так как при каждом прохождении цикла через какую-либо вершину используются два ребра - по одному из них маршрут входит в вершину, по другому выходит из нее (это относится и к стартовой вершине - в ней ведь маршрут должен закончиться). Докажем его достаточность.

Пусть - связный граф, в котором больше одной вершины и степени всех вершин четны. Значит, степень каждой вершины не меньше , поэтому по теореме 2 в графе имеется цикл . Если удалить все ребра этого цикла из графа , то получится граф , в котором степени вершин также четны. Если в нет ни одного ребра, то - эйлеров цикл. В противном случае, применяя ту же теорему 2 к графу, полученному из удалением всех изолированных вершин, заключаем, что в имеется цикл . Удалив из все ребра цикла , получим граф . Продолжая действовать таким образом, пока не придем к пустому графу, получим в итоге систему циклов , причем каждое ребро графа принадлежит в точности одному из них. Покажем теперь, что из этих циклов можно составить один цикл. Действительно, из того, что исходный граф связен, следует, что хотя бы один из циклов имеет общую вершину с . Допустим, для определенности, что таков цикл . Пусть , , и для некоторых и . Тогда последовательность вершин

очевидно, является циклом, а множество ребер этого цикла есть объединение множеств ребер циклов и . Таким образом, получаем систему из меньшего числа циклов, по-прежнему обладающую тем свойством, что каждое ребро графа принадлежит в точности одному из них. Действуя далее таким же образом, в конце концов получим один цикл, который и будет эйлеровым.

Теорема 5 верна и для мультиграфов (кстати, в задаче о кенигсбергских мостах ситуация моделируется именно мультиграфом). Она остается верной и при наличии петель, если при подсчете степеней вершин каждую петлю считать дважды.

Теперь нетрудно получить и критерий существования эйлерова пути.

Теорема 6. Эйлеров путь в связном графе существует тогда и только тогда, когда в нем имеется не более двух вершин с нечетными степенями.

Доказательство.

Если в графе нет вершин с нечетными степенями, то, по предыдущей теореме, в нем имеется эйлеров цикл, он является и эйлеровым путем. Не может быть точно одной вершины с нечетной степенью - это следует из теоремы 2. Если же имеются точно две вершины с нечетными степенями, то построим новый граф, добавив ребро, соединяющее эти вершины. В новом графе степени всех вершин четны и, следовательно, существует эйлеров цикл (возможно, что при добавлении нового ребра получатся кратные ребра, но, как отмечалось выше, теорема об эйлеровом цикле верна и для мультиграфов). Так как циклический сдвиг цикла - тоже цикл, существует и такой эйлеров цикл, в котором добавленное ребро - последнее. Удалив из этого цикла последнюю вершину, получим эйлеров путь в исходном графе.

В ориентированном графе под эйлеровым путем (циклом) понимают ориентированный путь (цикл), проходящий через все ребра графа. Ориентированный вариант критерия существования эйлерова цикла формулируется следующим образом.

Теорема 7. Эйлеров цикл в связном орграфе существует тогда и только тогда, когда у каждой его вершины число входящих в нее ребер равно числу выходящих.

Построение эйлерова цикла

Напомним, что эйлеровым циклом называется замкнутый маршрут, в котором каждое ребро графа встречается точно один раз. Согласно теореме 5, для существования такого маршрута в связном графе необходимо и достаточно, чтобы степени всех вершин были четными. Теперь рассмотрим алгоритм, который находит эйлеров цикл в заданном графе при условии, что условия связности и четности степеней выполнены.

Этот алгоритм похож на алгоритм поиска в глубину: начиная с произвольно выбранной стартовой вершины , строим путь, выбирая каждый раз для дальнейшего продвижения еще не пройденное ребро. Главное отличие от поиска в глубину состоит в том, что как пройденные помечаются именно ребра, а не вершины. Поэтому одна и та же вершина может посещаться несколько раз, но каждое ребро проходится не более одного раза, так что в полученном маршруте ребра не будут повторяться. Вершины пути накапливаются в стеке . Через некоторое количество шагов неизбежно наступит тупик - все ребра, инцидентные активной (последней посещенной) вершине , уже пройдены. Так как степени всех вершин графа четны, в этот момент и пройденные ребра образуют цикл, но он может включать не все ребра графа. Для обнаружения еще не пройденных ребер возвращаемся по пройденному пути, перекладывая вершины из стека в другой стек , пока не встретим вершину , которой инцидентно непройденное ребро. Так как граф связен, такая вершина обязательно встретится. Тогда возобновляем движение вперед по непройденным ребрам, пока не дойдем до нового тупика и т.д. Процесс заканчивается, когда в очередном тупике обнаруживается, что пуст. В этот момент в стеке находится последовательность вершин эйлерова цикла.

Алгоритм 1. Построение эйлерова цикла

1. выбрать произвольно вершину

3. while do

4. 

5. if имеется непройденное ребро

6. then пометить ребро как пройденное

8. else переместить вершину из в

Для обоснования алгоритма заметим сначала, что первой в стек помещается вершина , и она будет последней перемещена из в . Следовательно, она будет последней вершиной в стеке . Далее, как было отмечено выше, первый раз, когда обнаружится, что все инцидентные активной вершине ребра пройдены (т.е. будет выполняться ветвь else в строке 8), активной будет стартовая вершина . Значит, эта вершина будет первой перемещена из в . Итак, по окончании работы алгоритма в начале и в конце последовательности вершин, содержащейся в стеке , находится вершина . Иначе говоря, если эта последовательность представляет маршрут (а далее будет показано, что так оно и есть), то этот маршрут замкнут.

Далее отметим, что в конечном итоге каждое ребро будет пройдено. Действительно, допустим, что в момент окончания работы алгоритма имеются еще не пройденные ребра. Поскольку граф связен, должно существовать хотя бы одно непройденное ребро, инцидентное посещенной вершине. Но тогда эта вершина не могла быть удалена из стека , и не мог стать пустым.

Будем говорить, что ребро представлено в стеке ( или ), если в какой-то момент работы алгоритма в стеке рядом находятся вершины и . Ясно, что каждое ребро графа будет представлено в стеке и что каждые две вершины, расположенные рядом в этом стеке, образуют ребро. Допустим, в какой-то момент из стека в стек перемещается вершина , а непосредственно под ней в стеке находится вершина . Возможно, что вершина будет перемещена из в при следующем повторении цикла while, тогда ребро будет представлено в стеке . Другая возможность - между перемещением вершины и следующим перемещением, т.е. следующим выполнением ветви else, будет несколько раз выполнена ветвь then (строки 6,\,7). Это означает, что будет пройдена некоторая последовательность ребер, начинающаяся в вершине . Ввиду четности степеней эта последовательность может закончиться только в вершине . Значит, и в этом случае следующей за вершиной будет перемещена из в вершина . В любом случае ребро будет представлено в стеке . Из этого рассуждения видно, что последовательность вершин в стеке является маршрутом и что каждое ребро графа в конечном итоге будет содержаться в этом маршруте, причем один раз.

Гамильтоновы пути и циклы

Гамильтоновым циклом (путем) называют простой цикл (путь), содержащий все вершины графа. В графе, изображенном на рис. 3.6 слева, гамильтоновым циклом является, например, последовательность , , , , , . В графе, изображенном в центре, нет гамильтоновых циклов, но есть гамильтоновы пути, например, . В правом графе нет и гамильтоновых путей.

Рис. 3.6.

Внешне определение гамильтонова цикла похоже на определение эйлерова цикла. Однако есть кардинальное различие в сложности решения соответствующих задач распознавания и построения. Мы видели, что имеется достаточно простой критерий существования эйлерова цикла и эффективный алгоритм его построения. Для гамильтоновых же циклов (и путей) неизвестно никаких просто проверяемых необходимых и достаточных условий их существования, а все известные алгоритмы требуют для некоторых графов перебора большого числа вариантов.

Гамильтонов цикл представляет собой, с комбинаторной точки зрения, просто перестановку вершин графа. При этом в качестве начальной вершины цикла можно выбрать любую вершину, так что можно рассматривать перестановки с фиксированным первым элементом. Самый бесхитростный план поиска гамильтонова цикла состоит в последовательном рассмотрении всех этих перестановок и проверке для каждой из них, представляет ли она цикл в данном графе. Такой способ действий уже при не очень большом числе вершин становится практически неосуществимым ввиду быстрого роста числа перестановок - имеется перестановок из элементов с фиксированным первым элементом.

Более рациональный подход состоит в рассмотрении всевозможных простых путей, начинающихся в произвольно выбранной стартовой вершине , до тех пор, пока не будет обнаружен гамильтонов цикл или все возможные пути не будут исследованы. По сути дела, речь тоже идет о переборе перестановок, но значительно сокращенном - если, например, вершина не смежна с вершиной , то все перестановок, у которых на первом месте стоит , а на втором , не рассматриваются.

Рассмотрим этот алгоритм подробнее. Будем считать, что граф задан окрестностями вершин: для каждой вершины задано множество вершин, смежных с . На каждом шаге алгоритма имеется уже построенный отрезок пути, он хранится в стеке PATH. Для каждой вершины , входящей в PATH, хранится множество всех вершин, смежных с , которые еще не рассматривались в качестве возможных продолжений пути из вершины . Когда вершина добавляется к пути, множество полагается равным . В дальнейшем рассмотренные вершины удаляются из этого множества. Очередной шаг состоит в исследовании окрестности последней вершины пути PATH. Если и в имеются вершины, не принадлежащие пути, то одна из таких вершин добавляется к пути. В противном случае вершина исключается из стека. Когда после добавления к пути очередной вершины оказывается, что путь содержит все вершины графа, остается проверить, смежны ли первая и последняя вершины пути, и при утвердительном ответе выдать очередной гамильтонов цикл.

При каждом повторении цикла while в рассмотренном алгоритме либо проходится одно ребро, либо одна вершина перемещается из в . Последнее можно трактовать как прохождение уже пройденного однажды ребра в обратном направлении. Каждое ребро в каждом направлении будет пройдено один раз, поэтому общая трудоемкость этого алгоритма оценивается как . Необходимо только оговориться, что этот вывод, как и аналогичные заключения об алгоритмах обхода в первых разделах этой главы, справедлив лишь при определенных предположениях о том, как задан граф. Способ задания должен обеспечить возможность быстрого просмотра множества ребер, инцидентных данной вершине. Подходящим является, например, задание графа списками инцидентности, в которых для каждой вершины перечисляются инцидентные ей ребра. Необходимо также иметь возможность быстро пометить ребро как пройденное или проверить, пройдено ли данное ребро. Для этого подходящей структурой может служить характеристический массив на множестве ребер.