Материал: 00464

Рис. 3.1.

Установим некоторые простые свойства маршрутов.

Теорема 1. В любом маршруте, соединяющем две различные вершины, содержится простой путь, соединяющий те же вершины. В любом цикле, проходящем через некоторое ребро, содержится простой цикл, проходящий через это ребро.

Доказательство.

Пусть - маршрут. Если все его вершины различны, то это уже простой путь. В противном случае, пусть , . Тогда последовательность , полученная из этого маршрута удалением отрезка последовательности от до , тоже является маршрутом. Новый маршрут соединяет те же вершины и имеет меньшую длину. Продолжая действовать таким образом, после конечного числа "спрямлений" получим простой путь, соединяющий и . Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Отметим, что в формулировке теоремы 1 нельзя заменить слово "цикл" словами "замкнутый маршрут". Действительно, если - ребро графа, то последовательность - замкнутый маршрут, проходящий через это ребро, но никакого цикла в нем нет.

Теорема 2. Если в графе степень каждой вершины не меньше , то в нем есть цикл.

Доказательство.

Найдем в графе простой путь наибольшей длины. Пусть это . Вершина смежна с , а так как ее степень не меньше двух, то она смежна еще хотя бы с одной вершиной, скажем, с . Если бы была отлична от всех вершин пути, то последовательность была бы простым путем большей длины. Следовательно, - это одна из вершин пути, , причем . Но тогда - цикл.

Связность и компоненты

Граф называется связным, если в нем для любых двух вершин имеется маршрут, соединяющий эти вершины. Заметим, что ввиду теоремы 1 можно в этом определении заменить слово "маршрут" словами "простой путь".

Для произвольного графа определим на множестве вершин отношение соединимости: вершина соединима с вершиной , если существует соединяющий их маршрут. Легко видеть, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, то есть является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности называются областями связности, а порождаемые ими подграфы - компонентами связности графа. В связном графе имеется только одна компонента связности - весь граф. Компоненты связности можно определить также как максимальные по включению связные подграфы данного графа.

У графа на рис. 3.2 имеется четыре области связности - , , , .

Рис. 3.2.

Вершина называется шарниром (или точкой сочленения), если при ее удалении число компонент связности увеличивается. У графа на рис. 3.2 имеется четыре шарнира - это вершины , , , .

Ребро, при удалении которого увеличивается число компонент связности, называется перешейком. Перешейками графа, изображенного на рис. 3.2, являются ребра , , , , .

Легко доказываются следующие свойства шарниров и перешейков:

Теорема 3.Вершина является шарниром тогда и только тогда, когда в графе имеются такие отличные от вершины и , что любой путь, соединяющий и , проходит через .

Теорема 4. Ребро является перешейком в том и только том случае, если в графе нет простого цикла, содержащего это ребро.

Метрические характеристики графов

Расстоянием между двумя вершинами графа называется наименьшая длина пути, соединяющего эти вершины. Расстояние между вершинами и обозначается через . Если в графе нет пути, соединяющего и , то есть эти вершины принадлежат разным компонентам связности, то расстояние между ними считается бесконечным.

Функция обладает следующими свойствами:

1. , причем тогда и только тогда, когда ;

2. ;

3. (неравенство треугольника).

В математике функцию двух переменных, определенную на некотором множестве и удовлетворяющую условиям 1 - 3, называют метрикой, а множество, на котором задана метрика, - метрическим пространством. Таким образом, множество вершин любого графа можно рассматривать как метрическое пространство.

Расстояние от данной вершины до наиболее удаленной от нее вершины называется эксцентриситетом вершины и обозначается через . Таким образом,

Вершину с наименьшим эксцентриситетом называют центральной, а вершину с наибольшим эксцентриситетом - периферийной. Множество всех центральных вершин называется центром графа. Сама величина наименьшего эксцентриситета называется радиусом графа и обозначается через , а величина наибольшего - диаметром и обозначается . Иначе говоря,

Наименьший диаметр имеет полный граф - его диаметр равен 1. Среди связных графов с вершинами наибольший диаметр, равный , имеет цепь .

Если расстояние между двумя вершинами равно диаметру графа, то кратчайший путь, соединяющий эти вершины, называется диаметральным путем, а подграф, образованный вершинами и ребрами этого пути, - диаметральной цепью.

Для графа, изображенного на рис. 3.3, эксцентриситеты вершин приведены в следующей таблице:

Центр этого графа составляют вершины , , ; периферийные вершины - , и ; радиус его равен , а диаметр . Одна из диаметральных цепей порождается множеством вершин .

Рис. 3.3.

Маршруты и связность в орграфах

Для ориентированного графа можно определить два типа маршрутов. Неориентированный маршрут (или просто маршрут) - это чередующаяся последовательность вершин и ребер графа, такая, что для каждого выполняется одно из двух: или . Маршрут называется ориентированным (или ормаршрутом), если для каждого . Таким образом, при движении вдоль маршрута в орграфе ребра могут проходиться как в направлении ориентации, так и в обратном направлении, а при движении вдоль ормаршрута - только в направлении ориентации. Это различие очевидным образом распространяется на пути и циклы, так что в орграфе можно рассматривать пути и орпути, циклы и орциклы. Будем говорить, что маршрут соединяет вершины и , а ормаршрут ведет из в .

Соответственно двум типам маршрутов определяются и два типа связности орграфов. Орграф называется связным (или слабо связным), если для каждой пары вершин в нем имеется соединяющий их маршрут; он называется сильно связным, если для каждой упорядоченной пары вершин ( ) в нем имеется ормаршрут, ведущий из в . Максимальные по включению подмножества вершин орграфа, порождающие сильно связные подграфы, называются его областями сильной связности, а порождаемые ими подграфы - компонентами сильной связности. Очевидно, разные области сильной связности не могут иметь общих вершин, так что множество вершин каждого орграфа разбивается на области сильной связности. Областями сильной связности орграфа на рис. 3.4 являются множества , , .

Рис. 3.4.