Материал: 07 - презентация

6.3. Единственность представления функции степенным рядом

Теорема 3. Если функция ( ) представима на некотором интервале с центром в точке 0 степенным рядом:

( ) = ∑∞=0 ( − 0) ,

то этот ряд является рядом Тейлора этой функции.

Доказательство. Полагая = 0, получим ( 0) = 0.

Применим к данному степенному ряду теорему о почленном дифференцировании:

′( ) = ∑∞=1 ∙ ∙ ( − 0) −1, ′( 0) = 1, 1 = ′(1!0).

′′( 0). 2!

…

( )( ) = ∑∞= ∙ ( − 1) ∙ … ∙ ( − + 1)( − 0)−,

( )( 0) = ∙ ( − 1) ∙ … ∙ 2 ∙ 1, = ( )( 0).

!

Т.е. данный ряд является рядом Тейлора этой функции. Теорема доказана.

6.4. Разложение основных элементарных функций

Получим разложения в ряды Маклорена основных элементарных функций.

1). ( ) = .

( )( ) = , ( )(0) = 1 .

2). ( ) = sin .

(0) = 0.

′( ) = cos , ′(0) = 1.

′′( ) = −sin , ′′(0) = 0.

′′′( ) = −cos , ′′′(0) = −1.

Область сходимости (−∞, +∞).