Материал: 1155

4.Дайте определения генеральной совокупности, выборки.

5.Характеристики точечной оценки и критерии ее качества.

6.Интервальная оценка и доверительный интервал.

7.Что называют статистической гипотезой? Параметрические и непараметрические гипотезы.

8.Почему основную гипотезу называют нулевой?

9.Что называют уровнем значимости и областью принятия ги-

потезы?

10.Дайте определение статистического критерия. Что называют мощностью критерия?

11.Перечислите этапы проверки гипотезы.

12.Что относят к ошибкам первого и второго рода и какова вероятность их совершить?

13.Задача, решаемая при проверке гипотезы о законе распреде-

ления.

14.Роль критерия Пирсона при проверке гипотезы о законе распределения.

15.Какие статистические критерии применяются при проверке параметрических гипотез?

16.Основные гипотезы о выборочных средних, порядок их про-

верки.

17.Выявление грубых погрешностей с использованием параметрических гипотез.

53

4. ЭЛЕМЕНТЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

4.1. Общие сведения

Дисперсионный анализ является одним из методов изучения влияния одного или нескольких факторов на результат наблюдений (отклик). Если результаты наблюдения зависят от некоторых независимых факторов, то возможно разделить вклады этих факторов, анализируя соотношения между их дисперсиями. Таким образом, общая дисперсия отклика раскладывается на независимые случайные слагаемые, обусловленные действием независимых факторов, и остаточную дисперсию, связанную с ошибками эксперимента. Решение о существенности влияния некоторого фактора на исход эксперимента зависит от того, насколько значимой является составляющая дисперсии, обусловленная этим фактором, по сравнению с дисперсией, обусловленной ошибкой эксперимента. В зависимости от количества факторов выделяют однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ.

Наиболее простым является случай, когда проверяется действие только одного фактора. Для подтверждения наличия связи между признаком, положенным в основу группировки, и результативным признаком необходимо проверить гипотезу о существенности расхождения нескольких средних величин.

Пусть все n наблюдений разбиты на k групп. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия 2. Она является мерой вариации частных средних по группам xj вокруг общего среднего x0.

Оценка межгрупповой дисперсии определяется по формуле

k

xj x0 2 f j

где f j – число единиц в j-й группе; xj – частное среднее по j-й груп-

пе; x0 – общее среднее по совокупности единиц.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия 2j , ее оценка

54

Оценка средней из внутригрупповых дисперсий 2 – среднее СКО.

Между общей дисперсией 02 , средней из внутригрупповых дис-

персий 2 и межгрупповой дисперсией 2 существует соотношение

Если фактор, положенный в основу группировки, не оказывает влияния на вариацию изучаемого признака, то дисперсия групповых средних будет отражать влияние прочих факторов, которые определяют вариацию внутри групп, а поэтому отношение дисперсий будет близко к единице или отличаться от нее в силу присутствия случайных колебаний.

Дисперсионное отношение имеет вид

Если верна нулевая гипотеза (равенство средних в двух выборках), то можно ожидать сравнительно небольшое различие выборочных средних из-за чисто случайной изменчивости. Поэтому при нулевой гипотезе внутригрупповая дисперсия будет практически совпадать с общей дисперсией, подсчитанной без учета групповой принадлежности.

Для проверки значимости результата (т.е. случайности или неслучайности отклонения двух дисперсий) учитывается число степеней свободы. Для расчета межгрупповой дисперсии число степеней свободы равно d.f1 k 1, а для расчета внутригрупповой дисперсии

d.f2 n k. Предельный размер отклонений внутригрупповой дисперсии от общей устанавливают по таблицам F-распределения Фишера (прил. 5). Числа в таблице Фишера больше 1, поэтому критическая область всегда правосторонняя, и при вычислении экспериментально-

55

го значения F большую дисперсию делят на меньшую, чтобы получить значение больше 1.

Если F FT , то с заданной вероятностью можно утверждать, что между факторным и результативным признаком существует взаимосвязь.

4.2. Пример применения однофакторного дисперсионного анализа

Известны результаты выборочного обследования пробега автомобильных шин нового типа в различных условиях эксплуатации (табл. 4.1). Установить, существует ли зависимость между условиями эксплуатации и величиной пробега шин, гарантируя результат с вероятностью 0,95.

Таблица 4.1

Пробег шин в различных условиях эксплуатации

Факторный признак – условия эксплуатации. Результативный признак – величина пробега шин. Для каждой группы определяем средний пробег шин:

Полученные средние величины пробега шин для разных условий эксплуатации отличаются друг от друга. Для того чтобы установить,

56

является ли это различие существенным и вызвано различными условиями эксплуатации, определяется дисперсионное отношение (4.6).

следовательно, условия эксплуатации оказывают существенное влияние на величину пробега шин.

Вопросы для самоподготовки

1.Задачи, решаемые в дисперсионном анализе.

2.Дайте характеристику межгрупповой и внутригрупповой дисперсии.

3.Чем обусловлена вариация групповых средних вокруг общего среднего?

4.Какая параметрическая гипотеза принимается в качестве нулевой при дисперсионном анализе? Порядок проверки этой гипотезы.

5.Что называют дисперсионным отношением?

6.Какое вероятностное распределение применяют для проверки гипотезы в дисперсионном анализе? Перечислите его числовые характеристики.

57