Материал: 1155

3.4.2. Пример проверки гипотезы о нормальном законе распределения экспериментальных данных

В табл. 3.2 приведены данные о затратах времени на производство единицы продукции. Установить, можно ли с вероятностью PД 0,95 считать закон распределения экспериментальных данных

нормальным.

Таблица 3.2

Затраты времени на производство единицы продукции

Основная гипотеза H0: результаты наблюдений подчиняются

нормальному закону распределения.

Определим числовые оценки параметров нормального распределения x, S . Обобщим данные в виде вариационного ряда (табл. 3.3).

Размах R xmax xmin 11 6 5 (мин).

Число интервалов m 1 3,32lgn 1 3,32lg50 6.

48

Определяем теоретические частоты распределения (табл. 3.4) по

ну ptj определяем по прил. 1.

Таблица 3.4

Вспомогательная таблица для расчета теоретических частот нормального распределения

Так как для использования критерия Пирсона теоретическая частота должна быть больше 5, объединяем первый и второй и пятый и шестой интервалы (табл. 3.5).

Определяем число степеней свободы по формуле (3.30): k 4 – число интервалов, оставшихся после объединения; p 2, т.к. среднее значение и СКО найдены по данным эмпирического ряда; d.f. 4 1 2 1.

49

Табличное значение критерия для d.f. 1 и уровня значимости

0,05; Т2 3,841. 2 T2. Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения эмпирических данных принимается.

3.4.3.Проверка параметрических гипотез

Кпараметрическим относятся гипотезы о числовых характеристиках закона распределения.

Основные гипотезы о средних величинах следующие:

гипотеза о равенстве математического ожидания некоторому числу при известной дисперсии или при неизвестной дисперсии;

гипотеза о равенстве средних значений нормально распределенных совокупностей при известных дисперсиях, при неизвестных равных дисперсиях, при неизвестных неравных дисперсиях.

Первая задача чаще всего решается при неизвестной дисперсии. Испытуемая гипотеза H0: m1 a. Проверку гипотезы проводят с по-

мощью t-критерия. При большом числе наблюдений критическое значение критерия определяют по таблице интеграла вероятностей (прил. 3), при малом числе наблюдений n 20 – по таблице распределения Стьюдента (прил. 4) для заданного уровня значимости и числа степеней свободы d.f. n 1.

Выборочное СКО S определяется по формулам (3.21) или (3.25) в зависимости от объема выборки.

Если t tT , гипотеза H0 принимается.

Гипотеза о равенстве средних выдвигается, когда необходимо определить, существенно ли расхождение между двумя выборочными

50

средними. Для проверки этой гипотезы определяют среднюю (стандартную) случайную ошибку разности двух выборочных средних S . Для двух независимых выборок она определяется по формуле

где S12 и S22 – выборочные дисперсии соответственно в первой и второй выборках.

Фактическое значение критерия

Критическое значение tT определяют по таблице распределения Стьюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы d.f. n1 n2 2. Если t tT , нулевая гипотеза принимается. Следовательно, можно считать, что математические ожидания в двух подгруппах одинаковы, эти подгруппы можно объединить в одну группу и характеризовать последнюю общим средним.

При проверке параметрических гипотез можно также выявить наличие грубых погрешностей (промахов) в экспериментальных данных. Если в полученной группе результатов наблюдений одно или два существенно отличаются от остальных, а наличия ошибки в снятии показаний, описки и других промахов не обнаружено, то необходимо проверить, не являются ли они грубыми погрешностями, подлежащими исключению. Решение этой задачи выполняется общими методами проверки статистических гипотез в предположении нормального распределения результатов наблюдений. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат i-го наблюдения xi не содержит грубой погрешности, т.е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то результат наблюдения рассматривают как грубую погрешность и его исключают.

Критерий оценки анормальности результатов наблюдений при неизвестном СКО. При исключении по этому критерию грубых погрешностей из результатов наблюдений проводят следующие операции:

51

результаты группы из n наблюдений упорядочивают по возрастанию x1 x2 ... xn. Выделяют предполагаемые промахи, обычно ими могут оказаться результаты x1 и xn;

вычисляют оценки математического ожидания x и СКО S . Значения x и S вычисляют без учета экстремальных значений xi ;

для предполагаемых промахов проводят расчет коэффициен-

тов:

задаются уровнем значимости критерия ошибки . Очевидно, этот уровень должен быть достаточно малым, чтобы вероятность ошибки была невелика. По заданным параметрам , n находят критическое значение tT из таблиц для распределения Стьюдента (n<20) (прил. 4) либо нормального распределения (n>20) (см. прил. 3);

выполняют сравнение коэффициентов, определенных по формулам (3.37), с критическими значениями. Если выполняются условия t1 tТ и tn tТ , то результаты x1 и xnотносят к промахам и исключают из результатов наблюдений. Процедуру проверки повторяют для x2, xn 1 и т.д., пока все промахи не будут исключены из выборки.

Критерий «трех сигм». Данный критерий применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону, одним из граничных параметров служит оценка СКО измерений S . По этому критерию считается, что результат, полученный с вероятностью0,003, маловероятен, и его можно считать промахом, если xi x 3S . Данный критерий достаточно хорошо работает при числе измерений n 20...50.

Вопросы для самоподготовки

1.Что называют функцией и плотностью распределения случайной величины?

2.Дайте определение математического ожидания и дисперсии случайной величины.

3.Основные законы распределения случайной величины, применяемые при планировании эксперимента. Числовые характеристики этих законов.

52