Материал: 1155
Рассмотренный анализ проводится для того, чтобы не допустить нежелательных смешиваний. В частности, к большим искажениям может привести смешивание линейных эффектов и парных взаимодействий, так как эти коэффициенты во многих случаях имеют один и тот же порядок. Желательно выбирать такие генераторы, в которых линейные эффекты смешиваются со взаимодействиями высоких порядков. Задача выбора подходящих генераторов не формализована и обычно решается перебором различных вариантов.
Обработка результатов ДФЭ аналогична обработке результатов ПФЭ.
6.3. Пример применения планов первого порядка
Пусть необходимо исследовать влияние параметров процесса сушки керамического порошка (шликера) на его влажность. Остаточная влажность шликера после сушки должна находиться в определенных пределах, отклонение от которых приводит к ухудшению качества керамических изделий. На основании результатов предыдущих исследований оказалось, что наиболее тесную связь с влажностью имеет температура отходящих при сушке газов, причем при увеличении влажности температура снижается, а при уменьшении влажности температура повышается. Поэтому в качестве результативного признака выбрана температура отходящих при сушке газов. Варьируемыми факторами приняты: расход шликера m, расход газа v, давление в сушилке p (табл. 6.12).
Выбор уровней факторов, кодирование факторов |
Таблица 6.12 |
||||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Уровень варьируемых |
Кодовое обо- |
m, т/ч |
v, м3/ч |
|
p, МПа |
факторов |
значение |
X1 |
X2 |
|
X3 |
Нижний уровень |
–1 |
1,25 |
0,76 |
|
0,13 |
Верхний уровень |
+1 |
1,79 |
1,24 |
|
0,15 |
Основной уровень |
0 |
1,52 |
1,00 |
|
0,14 |
Интервал варьирования |
xi |
0,27 |
0,24 |
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
Для оценки влияния указанных факторов и математического опи-
сания процесса используем модель первого порядка
~y b0 b1X1 b2X2 b3X3 b12X1X2 b13X1X3
b23X2X3 b123X1X2X3 . |
(6.35) |
88
Матрица планирования ПФЭ 23 с учетом взаимодействия факторов представлена табл. 6.7. Для определения температуры отходящих при сушке газов планируется провести три параллельных опыта в каждой строке матрицы ПФЭ, всего 24. Рандомизацию опытов проводим с помощью таблицы случайных чисел (см. прил. 7). Например, начиная со второго столбца таблицы, записываем числа с 1 до 24, отбрасывая больше 24 и повторяющиеся, тогда таблица проведения опытов имеет вид (табл. 6.13).
Таблица 6.13
Порядок проведения опытов
Номер опыта по |
|
|
|
|
|
|
|
|
матрице планиро- |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
вания |
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайный поря- |
24 |
19 |
4 |
9 |
5 |
21 |
7 |
8 |
док реализации |
10 |
15 |
2 |
23 |
12 |
14 |
13 |
16 |
опытов |
22 |
20 |
1 |
3 |
17 |
6 |
11 |
18 |
Результаты испытаний, проведенных в соответствии с матрицей планирования и данными табл. 6.13, представлены в табл. 6.14.
Таблица 6.14
Результаты испытаний
Номер |
|
Температура, °С |
|
|
2 |
|
|
|
~ |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
S |
|
y |
|
y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
опыта |
yi1 |
yi2 |
yi3 |
yi |
i |
i |
i |
|||||||||
yi |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
332 |
327 |
366 |
341,7 |
357,6 |
450,3 |
253,3 |
|
||||||||
2 |
665 |
674 |
693 |
677,3 |
661,4 |
204,3 |
253,3 |
|
||||||||
3 |
825 |
886 |
895 |
868,7 |
872,3 |
1450,3 |
|
|
13,4 |
|
||||||
4 |
777 |
725 |
832 |
778,0 |
774,3 |
2863,0 |
|
|
13,4 |
|
||||||
5 |
1076 |
1088 |
1029 |
1064,3 |
1068,0 |
972,3 |
|
|
13,4 |
|
||||||
6 |
1190 |
1183 |
1136 |
1169,7 |
1166,0 |
862,3 |
|
|
13,4 |
|
||||||
7 |
1289 |
1236 |
1271 |
1265,3 |
1281,3 |
726,3 |
253,3 |
|
||||||||
8 |
993 |
991 |
996 |
993,3 |
977,4 |
6,3 |
253,3 |
|
||||||||
Дисперсию параллельных опытов определяем по формуле (6.9). Однородность дисперсии проверяем с помощью критерия Кохрена
(6.10)
G |
S2 |
2863,0 |
0,38. |
|
max |
|
|
||
n |
7535,3 |
|||
|
Si2 |
|
||
i 1
89
При |
уровне значимости 0,05 и числах степеней |
свободы |
d.f1 2; |
d.f2 8 табличное значение критерия GT |
0,5157 |
(см. прил. 6).
Расчетное значение критерия меньше табличного, следовательно, дисперсии параллельных опытов однородны, что является подтверждением нормального закона распределения ошибок отдельных опытов.
Дисперсия всего эксперимента (6.11)
S2 y |
1 |
N |
|
|
|
S2 |
941,9. |
||||
|
|||||
|
N i 1 |
i |
|
||
Вычисляем коэффициенты уравнения (6.35)
|
|
|
|
|
b |
|
y |
0 |
|
|
y |
i 895; |
|
N |
|
|
|
0 |
|
|
|
N |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
X1i |
y |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
341,7 677,3 868,7 778,0 1064,3 1169,7 1265,3 993,3 10 8
и т.д.
После расчета всех коэффициентов уравнение (6.35) принимает
вид
~y 895 10X1 82X2 228X3 100X12 51X13 75X23 6X123.
Ошибка определения коэффициентов
Sb S y 30,7 6,3.
Nr 
8 3
Для выявления значимости коэффициентов уравнения регрессии строим доверительный интервал шириной
2 b tT Sb 1,746 6,3 22.
|
Табличное значение t-критерия Стьюдента определяем для уров- |
|||||
ня |
значимости |
0,05 |
и |
числа |
степеней |
свободы |
d.f N r 1 8 2 16. |
|
|
|
|
||
|
Коэффициенты b1 и b123 |
оказались статистически незначимыми, |
||||
поэтому уравнение регрессии имеет вид |
|
|
||||
|
~ |
|
|
|
75X23. |
(6.36) |
|
y 895 82X2 228X3 100X12 51X13 |
|||||
Расчетные значения ~y приведены в табл. 6.14. Адекватность полученной модели определяем с помощью критерия Фишера (6.24).
Дисперсия адекватности (6.23)
90
|
2 |
|
3 |
|
N |
|
|
~ |
2 |
|
Sад2 |
1600,7 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
S |
ад |
|
|
|
i 1 yi yi |
|
1600,7; F |
|
|
|
|
1,70. |
|||
8 |
6 |
S2 y |
941,9 |
||||||||||||
Для d.f1 8 6 2; |
d.f2 83 1 16 |
и 0,05 критическое зна- |
|||||||||||||
чение FT 3,64. Так как F FT , то уравнение (6.36) адекватно описывает функцию отклика.
На основании полученных результатов и анализа уравнения (6.36) можно сделать следующие выводы:
расход шликера в указанных пределах сам по себе не влияет на температуру отходящих при сушке газов, следовательно, и на влажность шликера;
с увеличением расхода газа и давления в сушилке температура отходящих газов повышается, влажность – уменьшается (т.к. b2 0 и
b3 0), причем наибольшее влияние оказывает величина давления в сушилке;
наряду с линейными эффектами значимыми оказались также эффекты взаимодействия X1X2, X1X3 , X2X3, которые приводят к уменьшению температуры отходящих газов.
Вопросы для самоподготовки
1.Как зависит число опытов от вида принимаемой математической модели?
2.Чем можно объяснить широкое распространение полиномиальных моделей?
3.Дайте определение полного факторного эксперимента.
4.Что характеризуют -коэффициенты?
5.Перечислите этапы планирования и реализации полного факторного эксперимента.
6.Что называют кодированием факторов? Зачем его проводят?
7.Геометрическое представление планов типа 2k .
8.Как происходит формирования матрицы планирования экс-
периментов? Постройте матрицу планирования для планов 22;23;24.
9.Свойства матрицы планирования полного факторного эксперимента.
10.Что называют рандомизацией опытов? Зачем ее проводят?
11.Какие опыты называют параллельными?
91
12.Как и для чего проводится проверка однородности дисперсии параллельных опытов?
13.Что означает понятие воспроизводимости эксперимента?
14.Как оценить ошибку эксперимента?
15.Какой метод применяется при расчете коэффициентов уравнения регрессии? Запишите формулу расчета b-коэффициентов.
16.Что называют взаимодействием факторов и как оно учитывается при планировании полного факторного эксперимента?
17.Что называют взаимодействием первого, второго, третьего и т.д. порядка? Как определяется число возможных взаимодействий факторов?
18.Способы проверки значимости b-коэффициентов.
19.Чем может быть обусловлена незначимость коэффициентов уравнения регрессии?
20.Как и для чего проводится проверка адекватности уравнения регрессии?
21.Что называют дробным факторным экспериментом?
22.Дайте определение дробной реплики полного факторного эксперимента.
23.Порядок планирования дробного факторного эксперимента.
24.Какие планы называют насыщенными?
25.Явление смешивания оценок -коэффициентов в дробном
факторном эксперименте.
26. Что называют генерирующим соотношением и определяющим контрастом?
92