Материал: 1155

Если эта проверка дала отрицательный результат, то полученный эмпирический материал использовать для аппроксимации функции не рекомендуется. Следует повторить эксперимент, увеличив при этом число повторений для каждого опыта. В случае однородности дисперсий параллельных опытов рассчитывают дисперсию воспроизводимости и ошибку всего эксперимента.

Дисперсию всего эксперимента [дисперсию параметра оптимизации S2 y ] получают в результате усреднения дисперсий всех опытов. Эта же дисперсия характеризует и воспроизводимость эксперимента,

S2 y Sвоспр2 .

Формулой (6.11) можно пользоваться в случаях, когда число параллельных опытов одинаково во всей матрице. На практике часто приходится сталкиваться со случаями, когда число повторных опытов различно. Это происходит вследствие отброса грубых наблюдений, неуверенности экспериментатора в правильности некоторых результатов. Тогда пользуются средневзвешенным значением дисперсии, взятым с учетом числа степеней свободы:

fi

i 1

где fi – число степеней свободы в i-м опыте, fi ri 1. Ошибка всего эксперимента

6.1.7. Расчет коэффициентов регрессии, проверка их значимости

Значения коэффициентов регрессии bu и buj позволяют оценить

степень влияния факторов и их взаимодействий на параметр оптимизации. Чем больше числовое значение коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак «+», то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если «–» – уменьшается. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину параметра оптимизации при пе-

78

реходе значения фактора с нулевого уровня на верхний или нижний. Иногда оценивают линейный (главный) эффект фактора при переходе его значения с нижнего на верхний уровень. Численно он равен удвоенному коэффициенту полиномиальной модели 2bu .

для подсчета коэффициента b1 используют столбец X1, а для b2 – X2. Если уравнение (6.15) справедливо, то оно верно и для средних

вие с формулой (6.14), в матрицу планирования вводят столбец фиктивной переменной X0 , которая принимает во всех опытах значение

+1 (табл. 6.5).

b0 [ 1 y1 1 y2 1 y3 1 y4]/4.

Если есть основания считать, что модель нелинейна, то ее следует усложнить. Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае говорят, что существует эффект взаимодействия двух факторов. ПФЭ позволяет количественно оценить эффект взаимодействия. Для этого необходимо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов (табл. 6.6).

79

Модель для такого плана имеет вид

ВПФЭ встречаются различные уровни взаимодействия факторов.

Втабл. 6.7 представлены такие взаимодействия.

Таблица 6.7

Матрица планирования ПФЭ 23 с учетом взаимодействия факторов

Произведения X1X2, X1X3 , X2X3 представляют эффект взаимодействия первого порядка, X1X2X3 – второго.

Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться обычной формулой числа сочетаний

где k – число факторов; m – число элементов во взаимодействии. Так, для плана 24 число взаимодействий первого порядка равно 6:

C42 24!2!! 6.

Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится с целью упрощения уравнения регрессии путем исключения статистиче-

80

ски незначимых коэффициентов. Проверку можно осуществлять двумя способами: по t-критерию Стьюдента или путем построения доверительного интервала. Для ПФЭ ошибки всех коэффициентов уравнения регрессии одинаковы Sb0 Sbu Sbuj , доверительные интервалы

для всех коэффициентов равны.

Расчет ошибок коэффициентов производится по формуле

Коэффициент регрессий считается значимым, если он по абсолютной величине больше величины доверительного интервала bu 2 b.

Величина доверительного интервала рассчитывается, как правило, при помощи критерия Стьюдента.

Кроме того, проверять значимость коэффициентов можно по t-критерию следующим образом:

находят ошибки определения коэффициентов по формуле

(6.19);

определяют отношения

находят число степеней свободы d.f N r 1 , выбирают уровень значимости ;

по таблице находят критическое значение tT ;

если рассчитанное значение отношения больше критического tu tТ , то коэффициент bu признается статистически значимым, в

противном случае – незначимым.

Незначимость коэффициентов может быть обусловлена рядом причин:

фактор, соответствующий незначимому коэффициенту, не влияет на функцию отклика;

имеет место большая ошибка;

выбран малый шаг варьирования независимой переменной;

экстремум функции по переменной находится вблизи центра

планирования bu df 0,0,0, ,0 . dXu

81

Если какой-либо коэффициент незначим, он отбрасывается без пересчета всех остальных коэффициентов. Прежде чем исключить коэффициент, необходимо проанализировать причины, вызвавшие незначимость коэффициента.

6.1.8. Проверка адекватности модели

Данная проверка проводится с целью доказательства пригодности полученного уравнения регрессии для описания экспериментальных данных с заданной точностью. Для этого оценивают отклонения вычисленных по уравнениям регрессии значений функции оптимизации ~y от экспериментально установленных y. Для оценки отклонений используют F-критерий Фишера.

Проверку адекватности математической модели выполняют в несколько этапов:

находят дисперсию адекватности:

где ri – число параллельных опытов в i-й строчке матрицы планирования; yi – среднее арифметическое функции отклика из ri парал-

лельных опытов; ~yi – значение функции отклика, предсказанное по уравнению в i-м опыте; g – число значимых коэффициентов в уравнении регрессии; N – число независимых опытов.

Если все опыты повторяются r раз, то формула (6.22) будет иметь

вид

находят значения F-критерия Фишера (дисперсионное отношение):

d.f2 N r 1 ; выбирают уровень значимости ;

по значениям d.f1; d.f2; находят критическое значениеFT . Если F FT , то математическое описание функции отклика уравнением регрессии считается адекватным.

82