Материал: 1284

85

управления и методы исследования процессов в этих системах [13]. Перед ней ставятся задачи разработки методов синтеза, анализа, коррекции, экспериментального исследования и наладки систем управления. С помощью методов синтеза можно осуществлять выбор схемы взаимодействия элементов системы управления, а также параметров и характеристик этих элементов таким образом, чтобы система в целом удовлетворяла заданным требованиям к ее поведению в статике и динамике. Методы анализа систем управления позволяют определить их качественные показатели, а в случае их отличия от заданных - указать пути улучшения статических и динамических свойств системы. Изменение же статических и динамических свойств осуществляется с помощью методов коррекции. Методы экспериментального исследования и наладки систем управления дают возможность наиболее рационально и оптимально исследовать и настроить систему в реальных условиях работы.

В настоящее время разработка и проектирование систем управления представляет собой довольно сложную задачу, решение которой может быть достигнуто разными путями. Чтобы спроектировать систему управления, удовлетворяющую всем требованиям технического задания, обычно приходится просчитывать и сравнивать между собой несколько вариантов поэлементной и принципиальной схемы. Многозначность решения делает проектирование систем управления творческой инженерной задачей. Сложность ее решения в значительной степени зависит от вида дифференциальных уравнений, описывающих статические и динамические характеристики систем управления. Однако современный уровень развития математики часто оказывается недостаточным для разрешения некоторых задач теории систем управления. Тогда используют экспериментальное исследование и моделирование, которые облегчают расчеты и способствуют созданию приближенных инженерных методов решения задач.

При синтезе и анализе системы управления ее расчленяют на типовые звенья, которые различаются динамическими свойствами.

Типовые динамические звенья описываются определенными дифференциальными уравнениями. Это позволяет рассматривать качественные показатели системы управления вне зависимости от физической природы ее элементов. Поэтому в основу классификации звеньев положен вид дифференциального уравнения, которым могут описываться разнообразные устройства как по своей функции, так и по своему конструктивному оформлению.

Широко применяется операторная (символическая) форма записи дифференциальных уравнений. В операторной форме дифференциальные уравнения приобретают более простой вид, уменьшается объем записи, а при исследовании систем управления во многих случаях сокращаются промежуточные математические преобразования. В такой форме операцию дифференцирования обозначают следующим образом:

86

а операцию интегрирования — обратной величиной:

Используя операторную форму записи, можно, например, дифференциальное уравнение

представить в виде

а0xp3 + а1xp2 + а2xp + а3x = f(t)

или

(а0p3 + а1p2 + а2p + а3)x = f(t).

В общем виде дифференциальные уравнения звеньев систем управления записываются как

d(p)xвых = kxвх

или

d(p)xвых = m(p)xвх,

где xвх, xвых - соответственно входной и выходной параметры звена системы управления; k - коэффициент пропорциональности; d(p) и m(р) - операторные полиномы (многочлены) от р.

Если дифференциальные уравнения составлены при нулевых начальных условиях, то символ р можно рассматривать как алгебраическое число. Это позволяет для решения дифференциальных уравнений использовать алгебраические методы.

Основной характеристикой динамического звена является его передаточная функция, которая находится из дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях как отношение изображений по Лапласу выходного и входного сигналов:

Зная передаточную функцию звена, можно определить его выходную величину, переходя от изображений к оригиналам, из выражения:

хвых = W(p) хвх.

Для оценки динамических свойств звеньев используют временные и частотные характеристики. К временным характеристикам звеньев относятся их переходные функции. Переходная функция звена h(t) определяет его ре-

акцию на единичную ступенчатую функцию хвх = 1(t) (рисунок 2.44, а) и характеризует переход звена от одного установившегося состояния к другому (рисунок 2.44, б). Выражение функции h(t) можно получить посредством ре-

87

шения дифференциального уравнения, которым описывается динамика данного звена при xвх =l(t) и нулевых начальных условиях.

а) б)

Рисунок 2.44 – Единичная ступенчатая функция (а) и отклик системы на ступенчатую функцию (б)

За единичную ступенчатую функцию принимают скачкообразное воздействие с величиной скачка, равной единице при t > 0:

0 при t 0,

xвх

1 при t 0.

Другим распространенным видом входного воздействия в системах управления является единичная импульсная входная функция или дельтафункция, представляющая собой производную единичной ступенчатой функции:

(t) = 1 (t).

Дельта-функции свойственна тождественность нулю повсюду, кроме точки t = 0, в которой она стремится к бесконечности (рисунок 2.45, а):

при t 0, (t)

0 при t 0.

Площадь дельта-функции равна единице, т.е. (t)dt 1. Примером

импульсного воздействия может быть кратковременный ток короткого замыкания генератора, который отключается плавкими предохранителями, кратковременный удар нагрузки на вале электродвигателя и т. д.

Реакция динамического звена на единичную импульсную функцию называется функцией веса (t) (рисунок 2.45, б).

88

хвых = (t)

Рисунок 2.45 – Дельта-функция (а) и функция веса (б)

Связь между переходной и весовой функциями линейных звеньев выражается как:

(t) = h(t),

и наоборот:

1

h(t) (t)dt .

0

Рассмотрим частотную функцию, которая является важнейшей характеристикой динамического звена. При подаче на вход звена гармонического

воздействия хвх = хвхsint (хвх – амплитуда; - угловая частота этого воздействия) на выходе этого звена в установившемся режиме будет получена также

гармоническая функция вида хвых = хвыхsin(t + ), отличающаяся от входной по амплитуде и по фазе. Представив входную и выходную гармонические

где A( ) и ( ) – модуль (амплитуда) и аргумент (фаза) частотной передаточной функции; P( ) и Q( ) – вещественная и мнимая части частотной передаточной функции.

Поскольку частотная передаточная функция W(j) почти всегда дробнорациональная, то ее модуль равен отношению модуля числителя к модулю знаменателя, т.е. отношению амплитуд выходного сигнала к входному. Аргумент или фаза этой же функции W(j) равны разности аргументов числителя и знаменателя, т. е. сдвигу фаз выходного сигнала относительно входного.

89

Для нахождения вещественной и мнимой частей передаточной функции W(j) необходимо освободиться от мнимости в ее знаменателе. Для этого следует умножить числитель и знаменатель частотной передаточной функции на сопряженный знаменателю множитель. Например, если частотная переда-

постоянная времени), то, умножая числитель и знаменатель W(j) на сопря-

сле разделения на вещественную и мнимую части будем иметь:

Для наглядного представления частотных свойств динамических звеньев используются частотные характеристики: амплитудная частотная характеристика (АЧХ), которая определяет зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты колебаний при постоянстве амплитуды входного сигнала (рисунок 2.46, а); фазовая частотная характеристика (ФЧХ), показывающая фазовые сдвиги, вносимые звеном на разных частотах (рисунок 2.46, б); ам- плитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая объединяет амплитудную и фазовую частотные характеристики при использовании их в качестве полярных координат. Каждая точка АФЧХ соответствует определенному значению частоты . Эту характеристику можно построить также в прямоугольной системе координат – в комплексной плоскости. При этом координатами будут показанные на рисунке 2.46, в проекции Р и Q вектора А на соответствующие оси.

Согласно формулам (2.9) и (2.10) связь между названными частотными характеристиками определяется следующими выражениями:

A( ) P2 ( ) Q2 ( ) ; ( ) arctg QP( )( ) ;

P( ) = A( ) cos ( ); Q( ) = A( ) sin ( ).

Частотная передаточная функция звена может быть непосредственно получена из его передаточной функции (2.8) путем замены оператора р на

j( ), т.е. W(j) = W(p) p = j .