Материал: 2

Наконец, разделив обе части на , получим уравнение 

Определение 33.3. Уравнение (33.4) называется каноническим уравнением эллипса.

33.2 Исследование формы эллипса. Его эксцентриситет, фокусы и директрисы.

Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые его свойства.

        Свойство 33.1.   Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (33.4), то его осями симметрии служат оси Ox и Oy, начало координат –– центр симметрии.

        Доказательство.    Проведем доказательство на основе уравнения (33.4).

Пусть эллипс задан уравнением (33.4) и M₁(x₁ ;y₁) –– какая-то точка эллипса. Тогда

Точка M₂(-x₁ ; y₁) является точкой, симметричной точке M₁ относительно оси Oy (рис. 33.2).

Рис. 33.2.Симметрия точек

Вычисляем значение левой части уравнения (33.4) в точке M₂

В силу равенства (33.6) получаем

следовательно, точка M₂ лежит на эллипсе. Точка M₃ (x₁ ; -y₁)  является точкой симметричной точке M₁ относительно оси Ox (рис. 33.2). Для нее аналогичным путем убеждаемся, что

то есть M₃ является точкой эллипса. Наконец точка M₄ (-x₁ ; -y₁)  является симметричной точке M₁ относительно начала координат (рис. 33.2). Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение доказано, если эллипс имеет уравнение (33.4). А так как по теореме 1 любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то лемма полностью доказана.     

Проведем построение эллипса, заданного уравнением (33.4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив y из уравнения (33.4) и взяв перед корнем знак "+",

Построим график этой функции. Область определения – отрезок [-a; a], y(0)=b, при увеличении переменного x от 0 до a функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси Oy функция y монотонно растет при изменении от –a до 0. Производная определена во всех точках интервала (0; a) и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная отрицательна во всех точках интервала (a; b), следовательно, график –– выпуклый вверх.

Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка [-α; α ]. Выразим из уравнения (33.4) переменную x через y: . Очевидно, что в точке y = 0 эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке (a, 0) существует. Легко проверить, что она параллельна оси Oy. Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис. 33.3).

Рис. 33.3.Эллипс

        Определение 33.4.   Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии –– центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины –– большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины –– малой полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса.   

Прямые и        называются директрисами эллипса

Если эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты (-a; 0), (a; 0), (0; -b), (0; b), большая полуось равна a, малая полуось равна b . Величина c, являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы (33.5) для величины b, а именно, .

33.3 Окружность, как частный случай эллипса

Уравнение (33.4) было получено в предположении, что F₁ и  F₂ ––различные точки, то есть c > 0. Тогда b < a. Но кривую, определяемую уравнением (33.4), мы можем рассмотреть и в случае a = b, c = 0. Уравнение (33.4) в этом случае после умножения на a² примет вид x² + y² = a². Это –– уравнение окружности радиуса a с центром в начале координат. Таким образом, можно рассматривать окружность как частный эллипса, когда b=a и c=0 или, как иногда говорят математики, окружность является "вырожденным" эллипсом, у которого фокусы совпали.         

Эксцентриситет эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса 0 < < 1, ибо , а .

Если задано каноническое уравнение эллипса и требуется его построить, то для отображения качественных характеристик достаточно правильно отметить вершины эллипса и провести через них линию, похожую на кривую рис. 33.3, выдерживая симметрию и избегая образования углов на рисунке. Если же из рисунка предполагается получать числовую информацию о координатах его точек, то тогда построение следует проводить более точно. Нужно построить по точкам верхнюю половину эллипса, как график функции взяв для построения достаточно много точек, а нижнюю половину эллипса получить, используя его симметрию.

33.4 Общее уравнение окружности

        Определение 33.5.   Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.      

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

        Теорема 33.2.   Окружность радиуса R с центром в точке M₀ (x₀; y₀) имеет уравнение

        Доказательство.     Пусть M(x; y) –– текущая точка окружности. По определению окружности расстояние MM₀ равно R (рис. 33.4)

Рис. 33.4.Окружность

Легко заметить, что точки окружности, и только они, удовлетворяют уравнению

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (33.7).    

Если в уравнении (33.7) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (33.7). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным x и y. Произведения переменных x и y общее уравнение окружности не содержит.

§34 Гипербола и парабола как кривые второго порядка. Их эксцентриситет, фокусы и директрисы. Асимптоты гиперболы.

34.1 Гипербола

Известно, что кривая, задаваемая уравнением , где k –– какое-то число, называется гиперболой. Однако это –– частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).

        Определение 34.1   Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.         Для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось Ox направим вдоль этого отрезка, а ось ординат –– перпендикулярно к нему.

        Теорема 34.1.   Пусть расстояние между фокусами F₁ и F₂ гиперболы равно 2c, а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна 2a. Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение

где

Доказательство.     Пусть M(x; y) –– текущая точка гиперболы (рис. 1).

Рис. 34.1

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то

|F₁M – F₂M| < F₁F₂, то есть 2a < 2c, a < c. В силу последнего неравенства вещественное число b, определяемое формулой (34.2), существует.

По условию, фокусы –– F₁ (-c; 0), F₂ (c; 0). Легко заметить, что