Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Хабаровская государственная академия экономики и права»
Кафедра математики и математических методов в экономике
М. Ф. Тиунчик
МАТЕМАТИКА
Линейная алгебра
Программа и варианты контрольной работы для студентов 1 – 4-го курсов специальности «Логистика и управление цепями поставок» заочной формы обучения
Хабаровск 2008
2
ББК В11
Т 45
Тиунчик М. Ф. Математика. Линейная алгебра : программа у варианты контрольной работы для студентов1 – 4-го курсов специальности «Логистика и управление цепями поставок» заочной формы обучения. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2008. – 20 с.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики ТОГУ Агапова Е.Г.
Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний
© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2008
3
Программа дисциплины по разделу «Линейная алгебра»
1. Матрицы и операции над ними
Матрица и её размерность. Виды матриц, транспонирование матриц. Равные матрицы. Операции над матрицами и их свойства. Применение матриц в экономике. Линейное преобразование координат. Матрица линейного преобразования.
2. Определители
Определители первого, второго и третьего порядков. Миноры и алгебраические дополнения элементов матриц. Определители любого порядка. Свойства определителей. Алгоритм Гаусса вычисления определителей.
3.Системы линейных алгебраических уравнений и их исследование методами исключения неизвестных
Понятие о системе линейных уравнений и её решениях. Матрица и расширенная матрица системы. Матричная запись системы. Однородные и неоднородные системы, приведённая однородная система. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые системы. Эквивалентные системы. Элементарные преобразования систем. Теорема о равносильности систем при элементарных преобразованиях. Исследование систем методами Гаусса и Жордана-Гаусса. Базисные и свободные неизвестные. Общее и частные решения системы. Применение систем алгебраических уравнений в экономике.
4.Методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными
Методы Крамера, Гаусса и Жордана-Гаусса. Обратная матрица и её нахождение. Матричный метод решения систем.
5.Арифметическое n-мерное векторное пространство
Понятие n-мерного арифметического вектора. Нулевой вектор, противоположный вектор, равные векторы. Операции над векторами и их свойства. Экономический смысл вектора и операций над векторами. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Линейные комбинации векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Свойства систем векторов, связанные с понятием линейной зависимости. Базис и ранг системы векторов. Размерность и базис векторного пространства. Стандартный базис. Разложение векторов по базисам и его единственность. Скалярное произведение векторов и его экономический смысл. Длина вектора и расстояние между векторами. Угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные базисы.
4
6. Ранг матрицы и исследование систем линейных уравнений
Миноры матрицы, ранг матрицы по минорам. Ранг матрицы по строкам и столбцам. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Теоремы о ранге матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. Базисный минор, теорема о базисном миноре. Критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли). Критерий определённости системы. Исследование систем линейных уравнений (однородной и неоднородной). Базисные и свободные неизвестные. Общее и частные решения системы. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Структура общего решения системы (однородной и неоднородной).
7. Системы с базисом и канонические системы
Базисные и опорные решения системы линейных алгебраических уравнений. Системы с базисом. Приведение системы к системе с базисом методом Жордана-Гаусса. Методы нахождения базисных решений. Канонические системы уравнений. Теорема о возможности перехода от данной канонической системы к эквивалентной канонической системе. Преобразование однократного замещения. Алгоритм преобразования однократного замещения.
8. Векторы и линейные операции над ними
Скалярные и векторные величины. Вектор как геометрический объект. Коллинеарные и компланарные векторы. Нулевой вектор, противоположные векторы, равные векторы. Сложение и вычитание векторов, свойства операции сложения. Умножение вектора на число и свойства этой операции. Свойства операций сложения векторов и умножения на число.
9. Проекции векторов на ось
Величина вектора на оси и её свойства. Проекция вектора на ось и её вычисление. Свойства проекций.
10. Декартовы системы координат. Координаты точек и векторов
Координатная прямая. Координаты точек и векторов на прямой. Одномерное векторное пространство. Декартова прямоугольная система координат на плоскости. Координаты точек и векторов на плоскости. Двумерное векторное пространство. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точек и векторов в пространстве. Трёхмерное векторное пространство.
5
11. Базисы и разложение векторов по базисам
Базисы на координатной прямой. Разложение вектора по базису на координатной прямой. Базисы на координатной плоскости. Разложение векторов по базисам на плоскости. Базисы в трёхмерном пространстве. Разложение векторов по базисам в трёхмерном пространстве.
12.Операции над векторами в координатной форме и некоторые геометрические задачи
Сложение векторов в координатной форме. Умножение вектора, заданного в координатной форме, на число. Условия коллинеарности векторов. Деление отрезка в данном отношении. Нахождение координат середины отрезка.
13.Скалярное произведение векторов
Определение скалярного произведения векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Расстояние между точками. Нахождение угла между векторами.
14. Прямая линия и плоскость
Общие понятия о кривых, поверхностях и их уравнениях. Алгебраическое уравнение первой степени с двумя и тремя переменными. Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение прямых линий на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Геометрическая интерпретация решений линейных уравнений и неравенств.
15. Кривые второго порядка на плоскости
Алгебраическое уравнение второй степени с двумя переменными. Окружность, эллипс, гипербола и парабола; их канонические уравнения.
16.Преобразования координат и их применение к исследованию кривых второго порядка
Общие понятия о линейных преобразованиях. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе осей. Преобразование прямоугольных декартовых координат на плоскости при повороте осей. Исследование квадратичной функции. Исследование дробно-линейной функции.
17.Комплексные числа
Мнимая единица, мнимые числа, комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами. Сопряжённое число к комплексному числу. Свойства сопряжённых чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексная плос-