Материал: 3831
6
ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
1. Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой через две точки. Пересечение двух прямых. Канонические уравнения кривых второго порядка: окружности, эллипса, гиперболы, параболы.
2. Матрица, виды матриц, операции над матрицами. Определитель матрицы. Определители 2 и 3 порядка. Миноры. Алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки. Обратная матрица. Система линейных алгебраических уравнений. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Метод Крамера. Система с базисом. Метод Жордано-Гаусса. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Система координат на плоскости. Основные задачи на метод координат (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении).
3.Функция одной переменной. Область определения функции. Способы задания. Основные элементарные функции, их графики. Монотонность функции, ограниченность функции. Обратные и сложные функции.
4.Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Теоремы о единственности предела числовой последовательности, об ограниченности последовательности, имеющей предел. Бесконечно малые величины. Теоремы о бесконечно малых. Бесконечно большие величины. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Теорема о связи переменной, её предела и бесконечно малой. Предел суммы, произведения, частного. Предельный переход в
неравенствах. |
Признак |
существования |
предела |
монотонной |
последовательности. Предел |
функции. Теорема |
о пределе функции. |
||
Раскрытие неопределённостей. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и их применение для вычисления пределов.
5.Производная y=f(x). Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Теорема о непрерывности функции, имеющей производную. Производная суммы, произведения, дроби. Производные тригонометрической функции, показательной функции, степенной функции, обратных тригонометрических функций. Производные обратной
исложной функции. Производные высших порядков. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала.
6.Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Правило Лопиталя. Признак возрастания (убывания) функции на
7
интервале. |
Экстремум функции |
у = f(x). |
Необходимое условие |
экстремума. |
Второе достаточное |
условие экстремума. Наименьшее и |
|
наибольшее значение у=f(x) на [а,b]. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты кривых. Вертикальные и наклонные асимптоты.
7.Функции нескольких переменных. Область определения. Способы задания. Понятие предела для функции двух переменных. Непрерывность функции Z=f(х,у). Частные приращения, частные производные. Полное приращение, полный дифференциал Z=f(х,у). Экстремум функции двух переменных. Метод наименьших квадратов.
8.Первообразная функции. Теорема о первообразных. Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических выражений, иррациональных функций. Задача о площади криволинейной трапеции. Интегральная сумма. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона - Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Площадь плоской фигуры. Несобственные интегралы.
9.Числовой ряд. Сходимость числового ряда. Свойства рядов. Геометрический ряд. Гармонический ряд. Необходимый признак. Признак
сравнения. Признак Даламбера. Интегральный признак. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Степенной ряд. Радиус сходимости. Ряд Маклорена. Условия разложимости в ряд. Ряды Маклорена для y=sinх, y=cosх, у=ех, у=(1+х)m. Приближенные вычисления
спомощью рядов.
Внастоящих методических указаниях приведенные пособия для краткости обозначаются заключенными в квадратные скобки номерами из библиографического списка. Например, запись 2 гл.3, 3 № 66, 68. Это
означает следующее: изучите материал, изложенный в главе 3 учебника Лихолетова И.И. “Высшая математика ” и решите задачи № 66, 68 из учебника Минорского В.П.
Указания к выполнению контрольной работы №1
Тема 1. Аналитическая геометрия
1 гл..3, 4.
2гл..3, 4.
3гл.1 № 62, 63, 87, 95, 165, 187, 213.
8
Примеры решения задач
Задача 1. Даны вершины треугольника ABC (рис. 1):
А(-4,8), В(5,-4), С(10, 6).
Найти:
1)длину стороны АВ;
2)уравнение высоты СД и ее длину;
3)уравнение медианы, проведенной из вершины А;
4)записать уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.
Решение
А Y
C
Р
D |
X |
B
Рис.1
1. Расстояние d между точками М1(x1у1) и М2(х2у2) определяется по формуле
d |
( x |
2 |
x )2 |
( y |
2 |
y )2 |
(1) |
|
|
1 |
|
1 |
|
Подставим в формулу (1) координаты точек А и В, получим
|
|
|
4 2 ( 4 8)2 |
|
|
АВ |
|
5 |
81 144 15 . |
||
|
|||||
2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1(x1у1) и М2(х2у2), имеет вид
|
х |
х1 |
|
у |
у1 |
(2) |
|
х2 |
х1 |
у2 |
у1 |
||
|
|
|||||
Подставив в формулу (2) |
координаты точек А и В, получим уравнение |
|||||
прямой АВ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
х |
( |
4) |
|
|
у |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
( |
4) |
|
|
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
х |
4 |
|
|
у |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
9 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
х |
4 |
|
|
у |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4x |
16 |
|
3y |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4x 3y 8 |
0 |
( AB) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для нахождения углового коэффициента КАВ |
прямой |
АВ |
разрешим |
||||||||||||||||||||||
полученное уравнение относительно у: |
|
у |
4 |
х |
|
8 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
Отсюда |
K AB |
|
4 |
. Т.к. |
высота СD |
перпендикулярна АВ, |
то угловой |
||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
коэффициент KCD |
будет равен KCD |
|
1 |
, |
KCD 1/( |
4 / 3) |
|
3 |
. |
||||||||||||||||
|
КCD |
4 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Искомая |
высота |
проходит через |
точку |
|
|
|
С(10,6). |
Воспользуемся |
|||||||||||||||||
уравнением прямой, проходящей через данную точку, с заданным угловым коэффициентом:
|
|
|
|
|
|
(y-yо) = k(x-xo) |
|
|
|
|
|
(3) |
|
||||
y-6= |
3 |
(x-10), |
3x-4y-6=0 |
(СD) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для нахождения длины |
|
СD определим |
координаты точки |
D, решив |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4х 3у 8 |
0 |
|
|
|||||
систему уравнений (АВ) |
|
и |
(СD): |
3х |
4 у |
6 |
0 , |
откуда |
х=2, у=0, |
||||||||
т.е. D(2,0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив в формулу (1) координаты точек С и Д, находим |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2)2 |
|
0)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CD |
|
|
(10 |
(6 |
|
64 |
36 |
|
10. |
|
||||||
3. Обозначим основание искомой медианы через М. По определению медианы М делит сторону ВС пополам. Координаты точки М найдем по формуле
( |
х1 х2 |
; |
y1 |
y2 |
), |
(4) |
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
10
М ( |
5 10 |
; |
4 6 |
) |
( |
15 |
;1) |
|
|
|
|||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
Чтобы записать уравнение медианы AM, воспользуемся формулой (2).
x ( 4) |
|
y |
8 |
, |
x 4 |
|
y 8 |
, |
2(x 4) |
|
y 8 |
, 14x 23y 128 0 |
(АМ) |
|
15 / 2 ( 4) 1 |
8 |
23/ 2 |
7 |
23 |
7 |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
4. Обозначим искомую прямую СР. Угловой коэффициент K AB 
43 , т.к.
АВ и СР параллельны, то KAB |
KCP искомая прямая проходит через |
|||
точку С (10,6). Воспользуемся уравнением (3) |
||||
у 6 |
4 |
(х 10) , 3y 18 |
4x 40 , 4x 3y 58 0 (СP) |
|
3 |
||||
|
|
|
||
Задача 2. Уравнение кривой привести к каноническому виду и построить
линию.
1) х2 + 4у2 - 4х + 16у - 16 = 0
Решение: выделим полные квадраты при х и у: (х2-4х+4)-4+4(у2+4у+4)-16-16=0 (х-2)2+4(у+2)2-36=0 (х-2)2+4(у+2)2-36
|
(х 2)2 |
|
( у 2)2 |
|
(х )2 ( у |
|
)2 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
1. Получили уравнение вида: |
|
|
|
|
|
- |
||
36 |
9 |
а2 |
b2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
(5) каноническое уравнение эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
У |
У/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В/ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
-6 |
|
О |
|
|
6 |
Х |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
С/ |
Х\ |
С |
|
|
О/ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
-3 |
|
|
|
Рис.2