Материал: 3831
11
Центр эллипса лежит в точке O/(α,β), оси параллельны осям координат.
|
O/(2,-2) - центр данного эллипса. |
Отложим от точки |
O/ отрезки |
||||||||||
|
a |
6 b |
3 в направлениях, |
параллельных ОХ и OY, |
CС/=2 a =12 |
||||||||
ВВ/=2 b =6 (рис. 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) 9x2-4y2-54x-8y+41 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выделим полные квадраты при х и у. |
|
|
|
|
|
||||||||
9(х2-6х+9)-81-4((у2+2у+1)+4+41 = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
9(х-3)2-4(у+1)2-36 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9(х-3)2-4(у+1)2 = 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(х |
3)2 |
|
( у 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получили уравнение вида: |
(х |
)2 |
|
( у |
|
)2 |
1 (6) каноническое |
||||||
|
а2 |
|
b2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнение гиперболы.
Центр гиперболы лежит в точке А(α,β), оси параллельны осям координат. Центр данной гиперболы лежит в точке А(3,-1), a =2, b =3. Построим основной прямоугольник гиперболы, откладывая от точки А отрезки a =2, b =3 в направлениях, параллельных основным осям координат. BB/=2 a =4, СС/=2 b =6. Диагонали прямоугольника будут являться асимптотами. Вершины гиперболы – точки B и B/ (рис. 3).
Y Y/
C
O X
B/ А B |
X/ |
C/
Рис.3
12
Тема 2. Векторная алгебра. Элементы линейной алгебры
2гл.8, 9, 10.
3гл. 4 № 592, 593, 616, 620.
Задача 3. Затраты трех видов сырья (А,В,С) на производство единицы каждого из трех типов продукции (I,II,III) и запасы каждого типа сырья даны в таблице:
Вид |
Тип |
|
|
Запасы |
|
сырья |
продукции |
сырья |
|||
|
I |
II |
III |
|
|
А |
7 |
|
0 |
5 |
220 |
В |
2 |
|
3 |
2 |
140 |
С |
5 |
|
1 |
1 |
100 |
Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Составить математическую модель задачи и решить систему матричным методом.
Решение. Пусть предприятие выпустит x1 единиц - продукции I, х2 единиц - продукции II, хз единиц -продукции III.
7x1+0∙x2+5∙хз - расход сырья А на все виды продукции. По условию задачи расход сырья А должен равняться запасу 220, т.е. 7x1+5x3=220. Аналогично, приравнивая расходы и запасы сырья В и С, получаем систему уравнений
7х1 5х3 220 |
х1 |
|
|||
2х1 |
3х2 |
2х3 |
140 . Обозначим X = |
х2 |
-матрица объемов выпуска I, |
5х1 |
х2 |
х3 |
100 |
х3 |
|
II, III типов продукции.
7 |
0 |
5 |
220 |
|
А = 2 |
3 |
2 |
- матрица затрат ресурсов, А0 = 140 |
- матрица запасов |
5 |
1 |
1 |
100 |
|
ресурсов. |
|
Систему уравнений можно представить в матричном виде: |
|
А ∙ X = А0, Х = А-1 ∙ А0, |
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
|
где А-1- обратная матрица к квадратной матрице А = а21 |
а22 |
а23 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
Формула для вычисления обратной матрицы |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
А11 |
А21 |
А31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А--1= |
|
|
|
А |
А |
А |
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
12 |
22 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А13 |
А23 |
А33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
А |
- определитель матрицы А, который вычисляется по формуле |
|
|||||||||||||
|А|= а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а13а22а31-а12а21а33-а23а32а11 |
|
(9) |
|||||||||||||||
|
7 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 3 2 |
= 21 + 10 + 0 - 75 - 14 - 0 = -58 0. |
|
|
|||||||||||
|
|
А |
= |
|
|
||||||||||||
|
5 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная и для нее существует обратная матрица A-1.
Аij называется алгебраическим дополнением к элементу aij и равно
|
|
|
|
|
Aij = (-1)1+jМ ij |
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
Минор M ij элемента aij - это определитель, полученный из данного |
|||||||||||||
определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца. |
|
||||||||||||
A ( 1)2 |
|
3 |
2 |
|
3 1 2 1 1 |
A |
( 1)3 |
|
2 |
2 |
|
(2 1 2 5) 8 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11 |
|
1 |
1 |
|
|
12 |
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A ( 1)4 |
|
2 |
3 |
2 1 3 5 |
13 A |
( 1)3 |
0 |
5 |
|
|
(0 1 5 1) 5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13 |
|
5 |
1 |
|
21 |
|
1 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
( 1)4 |
7 |
5 |
7 25 18 |
A |
( 1)5 |
7 |
0 |
(7 0) |
7 |
|
|
|
|
|||||||
22 |
|
5 |
1 |
|
23 |
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
( |
1)4 |
|
0 |
5 |
|
0 |
15 |
15 |
A |
( 1)5 |
7 |
5 |
(14 10) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
31 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
32 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
( |
1)6 |
|
7 |
0 |
|
21 |
0 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
33 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
5 |
15 |
|
|
|
|
|
Отсюда А-1 = - |
|
8 |
|
18 |
4 |
|
|
|
|
||||||
58 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
13 |
|
7 |
21 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно формуле (7) Х = А-1A0
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
1 |
1 |
5 |
15 |
220 |
1 |
1 |
220 |
5 140 |
15 100 |
|||||
Х |
x2 |
8 |
18 |
4 |
140 |
8 |
220 |
18 140 |
4 100 |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
58 |
58 |
|||||||||||||||
|
x3 |
13 |
7 |
21 |
100 |
13 |
220 |
7 |
140 |
21 100 |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
580 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1160 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1740 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получили x1=10 х2=20 х3=30.
Задача 4
Расценки на проведение работ одним из трёх видов оборудования А,В,С для каждого из 3-х видов услуг:
1– технического обслуживания;
2– транспортные услуги;
3– капитальный ремонт - заданы векторами: d1(a1,b1,c1); d2(a2,b2,c2); d3(a3,b3,c3); Полные затраты на выполнение каждого из 3-х видов услуг заданы вектором Q(g1,g2,g3). Определить расчётные объёмы работ (число часов использования оборудования каждого вида), которые смогут окупить затраты на услуги.
Составить математическую модель задачи. Решить а) матричным методом;
б) методом Крамера.
х – число часов использования оборудования А; у – число часов использования оборудования В; z – число часов использования оборудования С.
a1x b1 y c1z g1 a2 x b2 y c2 z g 2 a3 x b3 y c3 z g3
Решение системы уравнений матричным способом приведено в задаче 3. Решим систему уравнений методом Крамера.
Обозначим
a1 b1 c1 А a2 b2 c2 a3 d3 c3
g1 b1 c1 x g 2 b2 c2 g3 b3 c3
|
|
x |
|
|
|
g1 |
|
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
g2 , |
|
|
|
|||||
, |
X |
y , |
|
А0 |
|
|
a |
b c |
|
||||
|
|
|
|
|
|
g3 |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a1 |
g1 |
c1 |
|
|
|
|
a1 |
b1 |
g1 |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
, |
y |
a2 |
g 2 |
c2 |
, |
|
z |
a2 |
b2 |
g 2 |
|||
|
|
a3 |
g3 |
c3 |
|
|
|
a3 |
b3 |
g3 |
|||
,
.
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
x |
x |
, |
y |
y |
, |
z |
z |
. |
|
|
|
||||||
Задача 5. Расходы на автомобильном транспорте выражаются формулой у=120+30х, а на железнодорожном - у=160+20х, где х - расстояние в километрах, у - транспортные расходы на 1 км. (в усл.ден.ед.).
Построить графики функций, произвести экономический анализ, рассчитать транспортные расходы при х=200 км.
1. Построим прямые у=120+30х (I) и у=160+20х (II) (рис. 4).
У
(I)
(II)
240
160
120
|
|
|
1 2 3 4 |
X |
|
|
|
Рис.4 |
|
Найдем точку пересечения двух прямых |
|
|||
у |
120 |
30х |
х0=4 у0=240 |
|
у |
160 |
20х |
|
|
|
|
|||
Если х=4, оба вида транспорта эквивалентны по затратам.
Если х<4, автомобильные перевозки выгоднее, а при х>4 выгоднее становятся железнодорожные перевозки.
Рассчитаем транспортные расходы при х=200 км. у=120+30∙200=6120 (усл.ден.ед.) - затраты на автомобильном транспорте;
у=160+4000=4150 (усл.ден.ед.) - затраты на железнодорожном транспорте.