Материал: 4 раздел

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Таблица 4.4

Граничные значения АЧХ и ФЧХ

	\|	( )\|	θ	( )		\| ( )\|	θ	( )

0		1		0		0		π
0					π			π

			− 2					2
			− 2					2
∞		0	−π			1		0

Графики АЧХ | ( ω)|и | ( ω)| приведены на рис. 4.14, а, а графики

ФЧХ θ (ω) и θ (ω) на рис. 4.14, б.

По графикам (рис. 4.14, а) видно, что для контуров с низкой

добротностью

( < 10)

| ( )|

достигают своих

максимальных

значений

на частотах

ω max и ω max . Известно, что

( ω)|

max

наблюдается на частоте:

ω max = ω0 ∙ √1 −

; ω max < ω0;

2∙

( ω)|

max

– на частоте:

ω max

ω0

; ω max > ω0.

√1 −

2 ∙ 2

а)

б)

Рис. 4.14. Графики АЧХ (а) и ФЧХ (б)

Для контуров высокой добротности ≥ 10, что характерно для техники радиосвязи, ω max ≈ ω max ≈ ω0, и на резонансной частоте значения | ( ω0)| ≈ | ( ω0)| = и являются наибольшими.

Выражения для комплексных передаточных функций, АЧХ и ФЧХ параллельного контура дуальны выражениям для последовательного контура (табл. 4.5). Структура формул сохраняется, изменяются только переменные в соответствии с табл. 4.1.

Таблица 4.5

Выражения для комплексных передаточных функций, АЧХ и ФЧХ последовательного и параллельного контуров

Последовательный контур

Параллельный контур

( ω) =

+ (ω −

)

+ (ω −

)

| ( )| =

| ( ω)| =

√ 2 + (ω −

ω −

θ( ) = −arctg

( ) =

( ω) =

1 − ω2 + ω

( )| =

| ( )| =

√(1 − ω2 )2 + (ω )2

ω −

θ (ω) = −

− arctg

θ (ω) = −

− arctg

−ω2

( ω) =

1 − ω2 + ω

1 − ω2 +

| ( ω)| =

( ω)| =

ω2

√(1 − 2 )2 + ( )2

√(1 − ω2 )2 + (ω )2

ω −

θ (ω) =

− arctg

θ ( ) =

− arctg

4.3.Метод узкополосного приближения

Взадачах анализа цепей с острыми резонансными характеристиками, то есть для контуров высокой добротности, используется метод узкополосного приближения.

Этот метод позволяет производить вычисления частотных характеристик цепей в окрестности их резонансных частот по приближенным формулам, но при той же точности результатов расчета, что

ипо точным формулам.

Рассмотрим комплексные передаточные функции и их значения на резонансной частоте для последовательного и параллельного колебательного контуров (табл. 4.6).

Таблица 4.6

Комплексные передаточные функции и их значения на резонансной частоте для последовательного и параллельного колебательного контуров

Последовательный контур

Параллельный контур

( ω) =

[1 + ]

̇ ∙

( ω0) =

Введем понятие нормированных комплексных передаточных функций и их резонансных амплитудно-частотных характеристик для последовательного и параллельного колебательных контуров:

( ω)

| ( ω)|

( ω) = ( ω0) и

| ( ω)| = | ( ω0)|.

Очевидно, что нормированные резонансные характеристики обоих

контуров выражаются одной и той же формулой:

( ω) = 1 + и

| ( ω)| =

√1 + ( )2

что создает

удобства

для сравнения контуров по

избирательности

(рис. 4.15).

Введем

понятие

абсолютной

и относительной

расстроек. Под

абсолютной расстройкой понимают отклонение частоты колебания контура ω от его резонансной частоты ω0:

∆ω = ω − ω0.

Относительная расстройка

– это отношение абсолютной расстройки контура к его резонансной частоте:

∆ω = ω − ω0. ω0 ω0

	Выведем	приближенные
	формулы для		резонансных
Рис. 4.15. АЧХ резонансного контура при	характеристик
Рис. 4.15. АЧХ резонансного контура при	последовательного		и
разных значениях добротности	последовательного		и
разных значениях добротности	параллельного	колебательных
	параллельного	колебательных

контуров высокой добротности.

и построить

Рассмотрим	частотно-зависимую переменную =	ω	−	ω0	в
Рассмотрим	частотно-зависимую переменную =	ω	−	ω	в
		ω		ω
		0

окрестности резонансной частоты для расчетов характеристик контуров высокой добротности:

ω ω0

ω2

− ω0

(ω − ω0) ∙ (ω + ω0) ∆ω ∙ (ω + ω0)

−

ω0

ω ∙ ω0

При малых расстройках частоты, когда |∆ω| ω0, значение частоты

ω ≈ ω0. С учетом этого выражение для приобретает следующий вид:

ω0

∆ω ∙ 2ω0

2∆ω

−

≈

ω0

ω0 ∙ ω0

ω0

где ∆ω - относительная расстройка.

ω0

Замена в окрестности резонансной частоты переменной на

переменную 2∆ω приводит к следующим приближенным формулам для

ω0

резонансных характеристик последовательного и параллельного

колебательных контуров:

( ω) =

2∆ω = 1 + ƺ,

2∆ω

1 + ∙

ω0

где ƺ = ∙

− обобщенная расстройка контура.

Выражение для нормированной АЧХ:

| ( ω)| =

;

√1 + ( ∙

2∆ω

√1 + ƺ2

ω0

)

Выражение для ФЧХ:

2∆ω

θ(ω) = −arctg ( ∙ ω0 ) = −arctgƺ.

На границе полосы пропускания ƺ = ±1.

Пример 4.2.1

Для последовательного колебательного контура, схема которого показана на рис. 4.16, а, рассчитать его параметры: резонансную частоту ω0, характеристическое сопротивление ρ, добротность Q, а также действующее значение напряжения на входе контура U и действующее значение напряжения на емкости на резонансной частоте (ω0), если R = 400 Ом, C = 200 пФ, L = 800 мкГн, действующее значение тока на резонансной частоте (ω0) = 5 мА.

Найти комплексную передаточную функцию H(jω) = ̇̇ (рис. 4.16, б).

Определить его полосу пропускания 2∆ =f1 – f–1 = 0

графики АЧХ и ФЧХ.

а) б)

Рис. 4.16. Схема последовательного контура (а) и комплексная схема замещения (б)

Решение

Резонансная частота последовательного контура

ω0 = √1 = 2,5∙106 радс ; f0 = ω2π0 = 0,398∙106 Гц = 398 кГц.

Характеристическое сопротивление контура, т.е. сопротивление любого из реактивных элементов контура на резонансной частоте,

ρ = ω0L = 1 = √ = 2,5∙106∙800∙10–6 = 2000 Ом.

ω0

Добротность контура

ρ2000

= = 400 = 5.

Действующее значение напряжения U на входе контура определяется

из условия,

что

на

резонансной

частоте

ω0 сопротивление

контура

Z(jω0) = R, а действующее значение тока I(ω0) задано и равно 5 мА.

(ω0) = ( ω0) ∙ (ω0) = 400 ∙ 5 ∙ 10–3 = 2 В.

Действующее значение напряжения на ёмкости на резонансной частоте

в Q раз больше действующего значения напряжения на входе контура и

равно

(ω

) = U∙Q = 2∙5 = 10 В.

Переходим к комплексной схеме замещения цепи (рис. 4.5, б)

–

i(t)→ ,

u(t)→ ,

R→ ZR = R,

L→ ZL = jωL,

C→ ZC=

Находим комплексную передаточную функцию ( ω)

);

;

= ∙(ZL

+ ZR + ZC) = ∙(jωL + R +

= ∙

( ω) = | ( ω)| ∙ (ω)

–ω +1+ ω

ω ( ω+ + ω)

АЧХ: | ( ω)| =

;

ФЧХ:

θ(ω) = −arctg

1–

√(1–ω ) +(ω )

На рис. 4.17 показан график АЧХ для заданной H(jω), а на рис. 4.18 - график ФЧХ.

Источник: https://studfile.net/preview/16544410/

Смотрите также:


_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«В истории мы черпаем мудрость». Фрэнсис Бэкон
«Дизайнерские дети» как профилактика инвалидизации общества