Материал: 4536

6

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.2. - М.: Высшая школа, 1983.

2.Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. - Минск: Вышэйшая школа,

1976.

3.Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. - Минск: Вышэйшая школа,

1976.

4.Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Статистика, 1970.

5.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1997.

6.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая

школа, 1997.

7.Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решения. - М.:

ЮНИТИ, 1997.

8.Тиунчик М.Ф. Теория вероятностей (случ.события): Учебное пособие. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2000

9.Тиунчик М.Ф. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 1999

7

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

В рекомендованных учебниках по этой теме даны основные понятия теории вероятностей: испытание, исход испытания, событие. Даны определения достоверного, невозможного и случайного событий. Приведена классификация случайных событий: совместные и несовместные, противоположные, равновозможные и единственно возможные события.

Понятие вероятности события – одно из основных понятий в теории вероятности. Оно выражает меру объективной возможности наступления события. В учебниках даны классическое и статистическое определения вероятности события.

Согласно классическому определению вероятность события А вычисляется по формуле Р(А) = mn , где n – число всех равновозможных,

единственно возможных и несовместных исходов испытания, m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. Таким образом, нахождение вероятности события сводится к вычислению значений параметров n и m, а так как 0 ≤ m ≤ n, то 0≤ Р(А) ≤ 1.

Пример 1. Имеется 100 одинаковых деталей, среди которых 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется без брака.

Решение. В этой задаче производится испытание – извлекается одна деталь. Число всех исходов испытания равно 100, т.к. может быть взята любая деталь из 100. Эти исходы несовместны, равновозможны, единственно возможны. Таким образом, n=100. Событие А состоит в появлении детали без брака. Всего в партии 97 деталей без брака, следовательно, число исходов, благоприятных появлению события А равно 97. Итак, m=97. Тогда

Р(А)= 10097 = 0,97.

При непосредственном вычислении вероятности события А часто для подсчета числа всех исходов n и числа m, благоприятных событию А исходов, применяются формулы комбинаторики. Приведем краткие сведения из комбинаторики.

Правило произведения. Если объект А может быть выбран n1 способами и после каждого такого выбора объект В может быть выбран n2 способами, то выбор пары А и В может быть осуществлен n1 n2 способами.

8

Это правило распространяется и на случай выбора трех, четырех и т.д. объектов.

Пусть дано множество из n элементов.

Размещения. Размещениями из n элементов по m (m ≤ n) называют такие подмножества, каждое из которых содержит m элементов из данных n и которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо их порядком. Число таких подмножеств равно:

Пример 2. Код банковского сейфа состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что наудачу выбранный код содержит различные цифры?

Решение. Так как на каждом из шести мест в шестизначном

Перестановки. Перестановками из n элементов называют такие множества, каждое из которых содержит данные n элементов и которые отличаются друг от друга порядком элементов, число перестановок Рn

= n!.

Пример 3. Между 6 фирмами: А, Б, В, С, Д, Е, занимающимися продажей компьютерной техники, проводится жеребьевка на предмет очередности представления своей продукции на выставке потенциальным потребителям. Какова вероятность того, что очередь будет выстроена по порядку, т.е. А, Б, В, Г, Д, Е?

Решение. Исход испытания – случайное расположение фирм в очереди. Число всех возможных исходов равно числу всех перестановок из шести элементов (фирм), т.е. n=Р6=6!. Число исходов, благоприятствующих

9

Сочетания. Сочетаниями из n элементов по m называют такие подмножества, каждое из которых содержит m элементов из данных n и которые отличаются друг от друга составом элементом

Пример 4. В компании 10 акционеров, из них три имеют привилегированные акции. На собрание акционеров явилось 6 человек. Найти вероятность того, что среди явившихся акционеров:

а) все трое акционеров с привилегированными акциями отсутствуют; б) двое с привилегированными акциями.

Решение: а) Испытанием является отбор 6 человек из 10 акционеров. Число всех исходов испытания равно числу сочетаний из 10 по

6, т.е.

Пусть событие А – среди шести человек нет ни одного с привилегированными акциями. Исход, благоприятствующий событию А, - отбор шести человек среди семи акционеров, не имеющих привилегированных акций. Число всех исходов, благоприятствующих

б) Пусть событие В – среди шести явившихся акционеров двое с привилегированными акциями, а остальные четыре – с общими акциями.

Число всех исходов n=С106 = 210. Число способов выбора двух человек из

10

ТЕМА 2. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Теорема сложения вероятностей

Перед изучением данной темы студенту рекомендуется изучить следующие вопросы: совместность и несовместность событий, сумма событий, теоремы сложения совместных и несовместных событий, полная группа событий, противоположные события.

Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (в случае, если события А и В несовместны); Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В) (если А и В совместны).

Пример 1. Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер?

Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем Р(дождь, или ветер, или то и другое) = Р(дождь) + Р(ветер) – Р(дождь и ветер) = 0,4 + 0,7 - 0,2 = 0,9.

2. Теорема умножения вероятностей

Перед изучением данной темы студенту необходимо изучить следующий материал: зависимость и независимость событий, произведение событий, теоремы умножения зависимых и независимых событий, вероятность появления хотя бы одного события.

Вероятность произведения двух событий вычисляется по формуле Р(А В) = Р(А) Р(В) (в случае, если события А и В независимы); Р(А В) = Р(А) РА (В) (если А и В зависимы).

Пример 2. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ – внутри страны. Событие В – второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность Р(А В). Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем