Материал: 4536

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение: n = 15; p = 0,6; q = 0,4.

15 0,6 - 0,4 ≤ m0 ≤ 15 0,6 + 0,6.

8,6 ≤ m0 ≤ 9,6 ; m0 = 9.

ТЕМА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного

промежутка.
1. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Пример 1.	Дискретная			случайная		величина Х задана законом
распределения:
		X			4	5	7
		X	2		4	5	7
		p	0,2		0,1	0,3	0,4

Найти: а) математическое ожидание М(Х);

б) дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение (Х); в) составить функцию распределения F(х) и построить ее график.

Решение:

а) По формуле

	n
M ( Х )	xi pi находим математическое ожидание Х:
	i 1

М(Х) = 2 × 0,2 + 4 × 0,1 + 5	× 0,3 + 7 × 0,4 = 5,1;
б) По формулам D(Х) =	M (Х2) - [ M(Х)]2 и ( Х )		найдем
		D( Х )

дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

	n			= 22 × 0,2 + 42 × 0,1 + 52 × 0,3 + 72 × 0,4 = 29,5.
M ( Х 2 )		x2i p
			i
	i 1
D(Х) = 29,5 -			(5,1)2 = 3,49.
(Х) =			=	1,87;
	3,49

в) по определению F(x) = P(X < x ) , т.е. F(x) есть вероятность того, что случайная X примет значение меньше, чем х.

Если х 2, то F(x) = P(X < 2) = 0.

Если	2 < x	4, то F(x) = P(X < 4) = P(X=2) = 0,2.
Если	4< x	5, то F(x) = P(Х < 5) = P(X=2)+(X=4) = 0,2+0,1 = 0,3.

Если 5< x 7, то F(x) = P(Х<7)= P(X=2)+P(X=4)+P(X=5)=0,2+0,1+0,3 = 0,6.

Если	x >		7,	то F(x)=P(Х<7)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=7)=
0,2+0,1+0,3+0,4		= 1.
Построим график F(x):
				Y
				1
	0,	x	2
	0,2,	2	x	4
				0.6
				0.6
F (x) 0,3,		4	x	5
	0,6,	5	x	7
	1,	x	7	0.3
				0.2
				0.2
				2	4 5	7	X

Пример 2. В магазине куплено 3 электроприбора: чайник, утюг и пылесос. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока для каждого из них соответственно равны р1=0,05, р2=0,1, р3 = 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х – числа приборов, вышедших из строя в течение гарантийного срока.

Решение: Х – число приборов, вышедших из строя, имеет следующие возможные значения:

х1=0 – все три прибора не выйдут из строя в течение гарантийного срока; х2=1 – один прибор выйдет из строя; х3=2 – два прибора выйдут из строя; х4=3 – три прибора выйдут из строя.

Найдем соответствующие этим значениям вероятности. По условию вероятности выхода из строя приборов равны:

р1=0,05; р2=0,1; р3=0,2, тогда вероятности того, что приборы будут рабочими в течение гарантийного срока равны:

q1	= 1	– p1	= 1 – 0,05 = 0,95;
q2	= 1	- p2 = 1 – 0,1 = 0,9;
q3	= 1	– p3	= 1 – 0,2 = 0,8.

P1 (X=0) = q1 ∙ q2

∙ q3 = 0,95 ∙ 0,9 ∙ 0,8

= 0,684.

(X=1) = q1 ∙ q2

∙ p3 + q1 ∙ p2 ∙ q3

+ p1 ∙ q2 ∙ q3 = 0,95 ∙ 0,9 ∙ 0,2

+ 0,95 ∙ 0,1 ∙ 0,8

0,05 ∙ 0,9 ∙ 0,8

= 0,283.

(X=2) = p1 ∙ p2

∙ q3 + p1 ∙ q2 ∙ p3

+ q1 ∙ p2 ∙ p3

= 0,05 ∙ 0,1 ∙ 0,8

+ 0,05 ∙ 0,9

0,2 + 0,95 ∙ 0,1 ∙ 0,2 = 0,032.

(X=3) = p1 ∙ p2

∙ p3 = 0,05 ∙ 0,1 ∙ 0,2

= 0,001.

Проверка:

= P1(X=0)+P2(X=1)+P3(X=2)+P4(X=3) = 0,684 + 0,283 + 0,032 + 0,001 = 1.

Закон распределения имеет вид:

0,684

0,283

0,032

0,001

Пример 3. Предприятие выпускает 90% изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины Х – числа изделий высшего сорта из трёх, взятых наудачу изделий. Найти M(X), D(X), (Х).

Решение:

Случайная величина Х – число изделий высшего сорта среди трёх отобранных изделий может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

Pn(X=m) = Cnm		pm qn-m , такое распределение называют
биноминальным.
Известно, что n = 3 ;			p = 0,9; q = 0,1; m = 0,1,2,3, тогда
P1(X=0) =	(0,1)3 = 0,001.
P2(X=1) =	C31	∙	0,91	∙	0,12 = 0,027.
P3(X=2) =	C32	∙	0,92	∙	0,1 = 0,243.

P4(X=3) = 0,93 = 0,729.

Проверка:

Р = Р3(Х=0)+Р3(Х=1)+Р3(Х=2)+Р3(Х=3)= 0,001+0,027+0,243 +0,729 = 1.

Закон распределения случайной величины Х:

0,001

0,027

0,243

0,729

M(X), D(X),

(X)

случайной

величины, распределенной по

биноминальному закону, находятся по формулам:

M(X) = np ,

D(X) = npq ,

(X) =

n p q .

M(X) = 3 ∙ 0,9 = 2,7;

D(X) = 3 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 0,27;

(X) =

0,27 = 0,53.

Пример 4. На сборку поступило

30 деталей, из них 25 стандартных.

Сборщик берет наудачу 3 детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех отобранных.

Решение: Возможные значения случайной величины Х:

Х1 = 0, Х2 = 1, Х3 = 2, Х4 = 3.

Вероятности этих значений вычисляются по формуле

	Cm	Cr m
Рn(Х=m) =	s	n s	,
Рn(Х=m) =		Cr	,
		Cr
		n
где n – число элементов множества,

s – число элементов множества, обладающих фиксированным свойством; r – число отобранных элементов;


m= 0, r		- число элементов с фиксированным свойством, оказавшихся в
выборке.		Такое

распределение называют гипергеометрическим.

	C0	C3	1
P3(X=0) =	25	5
	3		406
	С30
	C 2	C1	150
P3(X=2) =	25	5
	3		406
	С30

.	P3(X=1) =	C125 C52					25		.
.	P3(X=1) =			3			406		.
			С30
			С3		C0		230
		25				5	230
.	P3(X=3) =	25				5				.
.	P3(X=3) =			3				406		.
			С30

Проверка: Р=Р3(Х=0)+Р3(Х=1)+Р3(Х=2)+Р3(Х=3) =

1	25	150	230	1 .

406	406	406	406
406	406	406	406

Закон распределения случайной величины Х:

X	0	1	2	3
P	1	25	150	230

	406	406	406	406

	Пример 5: Независимые случайные величины Х и У заданы законами
распределения:
Х		1	3	4	Y	0	2	3
p		0,1	?	0,6	P	0,2	0,4	?

а) найти P(X=3), P(Y=3);

б) составить закон распределения случайной величины Z = X + Y. Найти M(Z), D(Z) и проверить выполнение свойств M (X+Y) = M(X) + M(Y); D(X+Y) = D(X) + D(Y);

в) составить закон распределения V = X Y. Найти M(V) и проверить выполнение свойства M(X Y) = M(X) M(Y).

Решение:

а)

Так как

P(X=1) + P(X=3) + P(X=4) = 1,

P(Y=0) + P(Y=2) + P(Y=3) = 1,

то

P(X=3) = 1 – (0,1 + 0,6) = 0,3,

P(Y=3) = 1 – (0,2 + 0,4) = 0,4.

Запишем законы распределения случайных величин X и Y, с учетом их

вероятностей:

0,1

0,3

0,6

0,2

0,4

б) Суммой случайных величин X и Y называется случайная величина

= X + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного

значения величины

X с каждым возможным значением величины Y. Если

X и Y независимы,

то вероятности возможных значений Z = X + Y равны

произведениям вероятностей слагаемых.

Z=X+Y

1+0=1

1+2=3

1+3=4

3+0=3

0,1 ∙ 0,2=0,02

0,1 ∙ 0,4= 0,04

0,1 ∙ 0,4=0,04

0,3 ∙ 0,2=0,06

3+2=5

3 + 3= 6

4 +0 = 4

4 + 2 =6

4 + 3= 7

0,3 ∙ 0,4=0,12

0,6 0,2= 0,12

0,6 ∙ 0,4=0,24

Источник: https://studfile.net/preview/16712448/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27