Материал: 5 раздел

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

где ρ = √ – характеристическое сопротивление контура, а Q = ρ – его

добротность.

При этом корни (5.25) имеют следующий вид:

1,2 = −δ ± ωсв,

где ωсв = √ω02 − δ2 – частота свободных затухающих колебаний. Покажем, что значение коэффициента затухания δ обратно

пропорционально добротности конура =

ω0

;

δ =

ω0

2ω0

тогда ωсв = √ω02 − δ2 = √ω02 − (

)

= ω0√1 −

Корни

являются

комплексно-

сопряженными

числами

отрицательной вещественной частью.

Покажем

расположение

корней

характеристического уравнения

на

комплексной плоскости (рис. 5.42).

При

подстановке

корней

1,2

= − δ ± ωсв в (5.28), получим

выражения для комплексных величин

Рис. 5.42. Расположение корней

постоянных интегрирования A1

A2 ,

характеристического уравнения

при

этом

докажем,

что

это

на комплексной плоскости

комплексно-сопряженные величины.

в колебательном режиме

U0 p2

U0 ( δ jωсв )

U0 (δ jωсв )

p1 p2

jωсв ( δ jωсв )

2 jωсв

e jarctg(

)

U0ω0

e j 1 ;

св

2 δ2

ωсв

2ωсв

где ω0

ωсв

2 δ2

и угол 1 показаны на рис. 5.42.

U0 p1

U0 ( δ jωсв )

δ jωсв ( δ jωсв )

2 jωсв

)

U0ω0

2 δ2 e

ωсв

e j 1

A1 .

jarctg (

св

2ωсв

U0 (ωсв jδ)

2 св

U0 (ωсв jδ) 2ωсв

Подставляя

и A2

в (5.26), получим выражение напряжения

для емкости в колебательном режиме:

uC (t)

U0ω0

e j 1 e( δ jωсв )t

U0ω0

e j 1 e( δ jωсв )t

U0ω0

e δt e j(ωсвt 1 ) e j (ωсвt 1 )

2ωсв

U0ω0

e δt cos(ω

)

e δt cos(ω

св

ωсв

cos 1

Как показали расчеты в колебательном режиме не только корни

характеристического уравнения 1,2

= −δ ± ωсв комплексно сопряжены,

но и постоянные интегрирования

1 и

A являются комплексно

сопряженными. Это позволяет найти реакцию, в частности, напряжение на емкости по упрощенной формуле:

			p1t		U0 0
uC (t)		2 Re A1 e		2 Re			e
uC (t)		2 Re A1 e		2 Re		2 св	e
						2 св
	U0 0	e t cos(		t	).
		e t cos(	св	t	).
	св		св	1
	св


j 1 e( j св )t
	(5.30)

Качественный график полученной функции напряжения на емкости показан на рис. 5.43.

При малых потерях в контуре (R < 2 ) свободные колебания имеют характер затухающих гармонических колебаний.

Степень затухания зависит от показателя экспоненты = 2 , который

называется коэффициентом затухания.

Период затухающих колебаний Tсв определяется частотой св и равен:

св =	2	=		2π

			1			2
	ωсв		1			2
			√		−
			√		−	42

Рис. 5.43. График напряжения на емкости в колебательном режиме

На практике степень затухания колебаний часто оценивают декрементом затухания , который определяет уменьшение амплитуды свободных колебаний за время периода. Из (5.30) следует, что

U0ω0

e δt cos(ω

)

св

uСсв (t)

ωсв

eδTсв .

u (t T )

ω0

δ(t Tсв )

cos(ωсв

(t Tсв ) 1 )

Ссв

св

ωсв

Для оценки степени затухания используется также логарифмический декремент затухания

ln = δ Tсв.

Качественные графики тока

( )

= −

−δ sinωсв

∙ св

и напряжения на индуктивности

( ) =

( )

= −

0ω0

−δ cos(ω

−

) =

св

ωсв

= −

−δ cos(ωсв − 1 )

cos 1

в последовательном контуре при колебательном режиме представлены на рис. 5.44, а и рис. 5.44, б соответственно:

а)

б)

Рис. 5.44. Графики:

а) зависимости тока в индуктивности от времени б) зависимости напряжения на индуктивности от времени

в колебательном режиме

Длительность переходного процесса в колебательном режиме определяется величиной коэффициента затухания δ, который, в свою очередь, зависит от добротности контура δ = ω20. Чем выше добротность

контура, тем меньше коэффициент затухания, тем больше время переходных колебаний.

Критический режим

Критический режим возникает при выполнении условия δ = ω0 , как нетрудно убедиться, эквивалентно соотношениям:

		=	1	; = 2√	; = 2 и	=		= 0,5.

	2		√				ρ
	2		√				ρ
При этом корни характеристического уравнения (5.25) имеют
следующий вид:
				1	= 2 = −δ,

т.е. являются вещественными, отрицательными, равными друг другу. Покажем расположение корней характеристического уравнения на

комплексной плоскости (рис. 5.45).

При

подстановке

корней в

выражение

для

напряжения

на

емкости

возникает

неопределенность,

поскольку корни

1, 2 равны друг другу:

Рис. 5.45. Расположение корней

(t)

( p1e

p2t

p2e

p1t

характеристического уравнения

на комплексной плоскости

в критическом режиме

Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим

( ) =

( 2

− 1 ) =

св

1→2

−

(

2 −

1 )

( 2 − 1 )

∙

;

− 2)

1→2 ( 1

1→2

( ) = ( 2

− 2 ) = 2 (1 − );

1 = 2 = −δ,

( ) =

св

( ) = −δ(1 + δ );

( )

( ) =

= −

−δ;

( ) =

( )

= − −δ(1 − δ ).

В решении появляется характерный для случая кратных корней множитель t перед экспонентой. Качественно характер свободных колебаний в критическом режиме не отличается от апериодического режима, только все переменные будут убывать быстрее, чем в апериодическом режиме.

Контрольные вопросы

1.Что такое переходный процесс? В каких схемах он возникает и почему?

2.Что называют начальными условиями задачи?

3.Сформулируйте законы коммутации. Каков их физический смысл?

4.От чего зависит порядок дифференциального уравнения цепи?

5.Когда режим в цепи называется свободным, когда вынужденным?

6.Чем отличаются дифференциальные уравнения, описывающие свободные и переходные колебания в цепи? Чем отличаются их решения?

Источник: https://studfile.net/preview/16544411/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей