Документ: 5 раздел, страницы 6-10 | База учебных материалов

d ni(t)	a	d n 1i(t)	... a	d i(t)	a i(t) f (t) ,	(5.4)
dtn		dtn 1
	n 1		1 dt		0

где i(t) – искомая переменная; f(t) – правая часть, обусловленная возмущающими силами, т.е. функциями источников.

Напомним известные из курса математики сведения о решении линейных дифференциальных уравнений. Общее решение линейного дифференциального уравнения (5.4) определяется в виде суммы двух составляющих:

i(t) = iсв(t) + iвын(t) .

(5.5)

Первая составляющая называется свободной или собственной и определяется как общее решение соответствующего однородного уравнения, которое получается из (5.4) путем приравнивания нулю правой части f(t) = 0:

d ni(t)	a	d n 1i(t)	... a	d i(t)	a i(t) 0.	(5.6)
dtn		dtn 1		dt
	n 1		1		0

Для определения общего решения (5.6) составляется характеристическое уравнение, которое получается из (5.6) путем замены k- й производной на pk. При этом сама искомая переменная заменяется на единицу. Характеристическое уравнение

pn + an-1pn-1 + +a1p + a0 = 0

(5.7)

является алгебраическим уравнением степени n и его корни pk определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:

n
iсв (t) Ak e pk t ,	(5.8)

k 1

где Ak – постоянные интегрирования.

Решение (5.8) записано для случая различных корней pk . Входящие в (5.8) n постоянных интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям.

Заметим, что в однородном дифференциальном уравнении (5.6) правая часть приравнивается нулю, что означает отсутствие в цепи внешнего воздействия, т.е. источника. Поэтому токи и напряжения в ветвях цепи будут определяться только параметрами и свойствами самой цепи, а также начальным запасом энергии. Физически очевидно, что для пассивных цепей

собственная составляющая iсв(t) при отсутствии источников должна стремиться со временем к нулю. Эта составляющая существует только во время переходного режима.

Вторая составляющая iвын(t) решения (5.5) называется вынужденной и представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) (с ненулевой правой частью). Из математики известно, что вид частного решения определяется видом правой части уравнения. В частности, если правая часть f(t) – константа, то и частное решение ищется в виде константы. Если правая часть является гармонической функцией с определенными частотой, амплитудой и начальной фазой, то и частное решение будет гармонической функцией той же частоты, для которой нужно определить амплитуду и начальную фазу.

Таким образом, вынужденная составляющая обусловлена воздействием источников в цепи и при t искомая переменная i(t) iвын(t). Поэтому вынужденная составляющая называется установившейся и определяется как установившееся значение (в случае постоянного воздействия) или как установившаяся функция (в случае гармонического воздействия) для искомой переменной в цепи после коммутации

iвын(t) = iуст(t).

(5.9)

Необходимо отметить, что определение вынужденной составляющей в случае воздействия сигналов более сложной формы, чем упомянутые выше, представляет достаточно сложную задачу.

В заключении приведем рекомендуемый порядок расчета переходных колебаний классическим методом.

1.Определить независимые начальные условия iLk(0+) и uCk(0+) с использованием законов коммутации.

2.Для цепи после коммутации составить систему уравнений Кирхгофа с использованием уравнений для элементов.

3.Полученную систему разрешить относительно искомой переменной (iLk(t) или uCk(t)). При этом получится одно дифференциальное уравнение n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.

4.Определить решение полученного дифференциального уравнения

n
i(t) = iсв(t) + iвын(t) Ak e pk t + iуст(t),	(5.10)

k 1

где iвын(t) = iуст(t) – вынужденная (установившаяся) составляющая; pk – корни характеристического уравнения; Ak – постоянные интегрирования,

определяемые из начальных условий.

Далее классический метод будет использован для анализа переходных колебаний в простейших RL, RC и RLC-цепях.

5.5. Свободные колебания в цепях с одним реактивным элементом

Колебания в электрических цепях с реактивными элементами не могут прекращаться сразу же после прекращения внешних воздействий на цепь, а продолжаются за счет энергии, запасенной в реактивных элементах к моменту прекращения воздействия.

Колебания в электрической цепи, происходящие после прекращения воздействия на цепь внешних вынуждающих сил (независимых источников напряжения или тока), называются свободными колебаниями.

Очевидно, что в пассивных электрических цепях за счет необратимого преобразования электрической энергии в тепловую, свободные колебания носят затухающий характер, и режим свободных колебаний заканчивается режимом покоя.

5.5.1. Свободные колебания в последовательном RL-контуре

Решим задачу анализа свободных колебаний в RL-контуре, схема которого приведена на рис. 5.7. В момент времени t = 0 ключ замыкается.

Рис. 5.7. Схема RL-контура

Рис. 5.8. Схема RL-контура в режиме постоянного тока при = 0−

Определим начальные условия, то есть ток в индуктивности при= 0−. В этот момент ключ еще разомкнут, и в цепи режим постоянного тока, создаваемый источником постоянного напряжения

0.

В этом режиме напряжение на индуктивности равно нулю, что эквивалентно короткому замыканию ее зажимов. Тогда схема приобретает вид, показанный на рис. 5.8.

Найдем ток, протекающий в данной цепи: (0−) = 2∙ .

Для цепи после коммутации( ≥ 0), представленной на рис. 5.9, которая образуется из исходной цепи после замыкания ключа, составим уравнение по второму закону Кирхгофа:

Рис. 5.9. Схема RL-контура после коммутации( ≥ 0)

( ) + ( ) = 0,

где ( ) = ( ) ∙ ; ( ) = ( ).

Подставим эти выражения в уравнение по второму закону Кирхгофа и получим дифференциальное уравнение относительно тока ( ):

( )
	+	( ) ∙ = 0.
	+	( ) ∙ = 0.

Полученное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, что соответствует цепи с одним реактивным элементом.

Решение данного однородного уравнения будем искать в виде свободной составляющей (вынужденная составляющая равна нулю). Свободная составляющая, а, следовательно, и полное решение имеет вид:

( )

=

св

( ) =

е 1 .

1

Показатель

степени

экспоненты

1

является

корнем

характеристического уравнения:

+ = 0,

т. е. 1 = −

.

Корень характеристического уравнения является вещественным

отрицательным числом.

( ) =

( ) = е−

= −

,

=

В результате,

где

имеет

св

1

размерность времени и называется постоянной времени RL-контура.

Из начальных условий находим постоянную интегрирования 1:

(0

) = е0 = =

.

−

1

2 ∙

Окончательное решение дифференциального уравнения будет иметь

следующий вид:

( ) =

−

=

− .

2 ∙

св

Определим напряжение

( ) через ток

( ):

( )

( ) =

= −

− .

2

Величины 1 и будут зависеть от структуры цепи и ее параметров.

Если = , то

( ) =

−1 =

и ( ) = −

−1

= −

. Таким

2∙

2∙ ∙

2

2∙

образом, постоянная времени определяет время, за которое ток и напряжение на индуктивности в RL-контуре убывают по абсолютной величине в режиме свободных колебаний в ≈ 2,72 раз и составляют


( ) =		≈ 0,37		и	( ) = −		≈ −0,37		.

	2∙ ∙		2∙			2∙		2

Известно, что свободные колебания в пассивной цепи с неограниченным ростом времени убывают, а цепь переходит в режим покоя, поэтому с помощью постоянной времени цепи можно оценить длительность переходного процесса. Считают, что переходный процесс практически

заканчивается по истечении промежутка времени равного (4-5) (свободная составляющая за это время уменьшается до 0,02 от своего первоначального значения). Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, т.к. свободная составляющая обращается в нуль только при t .

Графики полученных зависимостей ( ) (рис. 5.10, а) и ( ) (рис. 5.10, б) показывают, что абсолютные значения этих величин убывают

по экспоненте со скоростью, которая определяется постоянной времени .

а)		б)
Рис. 5.10. Графики зависимостей		( ) (а) и ( ) (б)

Запас энергии, имеющийся в индуктивности, непрерывно расходуется в резистивном сопротивлении контура, и цепь стремится к режиму покоя.

Для наглядного суждения о характере переходных колебаний в теории линейных электрических цепей принято корни характеристического уравнения изображать на комплексной плоскости.

В рассматриваемом примере единственный корень характеристического уравнения расположен в левой полуплоскости на ее вещественной отрицательной полуоси (рис. 5.11).

Рис. 5.11. Расположение корня характеристического уравнения на комплексной плоскости

Материал: 5 раздел

Смотрите также: