Материал: 5 раздел

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

В данном случае электрическая цепь после коммутации содержит два реактивных элемента – индуктивность и емкость. Это означает, что дифференциальное уравнение цепи должно иметь второй порядок и поэтому должны быть определены два независимых начальных условия

(рис. 5.38).

Очевидно, что до коммутации цепь находилась в режиме постоянного тока, создаваемого источником постоянного напряжения 0.

Рис. 5.38. Схема RLC-контура в режиме постоянного тока при = 0−

В этом режиме ток ( )в контуре равен нулю, так как в режиме постоянного тока емкость эквивалентна разрыву цепи. Напряжение на зажимах емкости будет равно:

uC(0+) = uC(0–) = U0;

ток в индуктивности

(0+) = (0−) = (0−) = 0.

Рассмотрим цепь после коммутации (рис. 5.39).

Согласно второму закону Кирхгофа для цепи после коммутации справедливо следующее уравнение:

uR(t) + uL(t) + uC(t) = 0; (5.22)

Рис. 5.39. Схема RLC-контура после коммутации (t )

Будем интересоваться напряжением на емкости uC(t) и поэтому другие напряжения, входящие в (5.22), а именно, напряжение на резистивном сопротивлении uR(t) и напряжение на индуктивности uL(t) выразим через uC(t):

uR(t) = Ri(t) = RC	du (t)	;	uL(t) = L	di(t)	LC	d 2uC (t)	.	(5.23)
uR(t) = Ri(t) = RC	C	;	uL(t) = L		LC		.	(5.23)
	C			dt		dt2
	dt			dt		dt2
После подстановки (5.23) в (5.22) получим дифференциальное
уравнение:

	d 2u		(t)	RC	du (t)	uC	(t) 0.
LC	C				C			(5.24)
	dt	2			dt

Полученное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение будем искать в виде: uC(t) = uCсв(t).

Для определения свободной составляющей записываем соответствующее характеристическое уравнение

∙ 2 + ∙ + 1 = 0; 2 + ∙ + 1 = 0 или 2 + 2 ∙ + 02 = 0

и определяем его корни:

			± √(			2	1
								= − ± √ 2 − ω 2,
	= −				)	−			(5.25)

1,2		2		2				0

где введены следующие обозначения:= 2 – коэффициент затухания;

ω0 = √1 – резонансная частота контура.

Далее записываем выражение для свободной составляющей

uСсв (t) A1e p1t A2e p2t .

Очевидно, что после коммутации в установившемся режиме цепь будет находиться в режиме покоя, а значит, вынужденная составляющая решения определяется как установившееся значение напряжения на емкости, которое будет равно нулю: вын = уст = 0. Таким образом, полное решение для напряжения

uC (t) uCсв (t) A1e p1t A2e p2t			(5.26)
и для тока
i(t) C	duC	CA1 p1e p1t CA2 p2e p2t .	(5.27)
	dt

Выражение для тока необходимо для определения постоянных интегрирования. Используя начальные условия, из (5.26) и (5.27) при t = 0 получим:

uC(0)= A1 + A2 = U0;

i(0) = CA1p1 + CA2p2 = 0.

Решение этой системы уравнений дает выражения для постоянных интегрирования:


A	U0 p2		;	A	U0 p1		.	(5.28)

1	p1	p2		2	p1	p2

Таким образом, напряжение на емкости имеет следующий вид:


u (t)	U0		( p e p2t p e p1t ).				(5.29)
u (t)			( p e p2t p e p1t ).				(5.29)
C	p1 p2			1	2
	p1 p2
Выражение для тока в контуре:
i(t) C		duC		СU0	p p (e p2t e p1t ).
i(t) C					p p (e p2t e p1t ).
		dt		p1 p2	2	1
		dt		p1 p2
Выражение для напряжения на индуктивности:

(t) L

CLU0

p p ( p e p2t p e p1t ).

1 2

p1 p2

Учитывая, что

p2 p1 (δ+ δ2 -ω02 )(-δ- δ2 -ω02 )=δ2 -(δ2 -ω02 )=ω02

;

i(t) C

duC

(e p2t

e p1t );

L( p p )

(t)

( p e p2t p e p1t ).

p1 p2

Дальнейшая конкретизация решения связана с видом корней p1 и p2

характеристического уравнения. В зависимости от соотношения между параметрами цепи возможны следующие виды корней (5.25):

1.δ > ω0 – корни вещественные, отрицательные, неравные, что соответствует, как будет показано ниже, апериодическому режиму переходных колебаний;

2.δ < ω0 – корни комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, что соответствует колебательному режиму;

3.δ = ω0 – корни вещественные отрицательные, равные. Режим

называется критическим.

Далее рассмотрим эти три случая отдельно.

Апериодический режим

Апериодический режим возникает при выполнении условия δ > ω0 , а, следовательно:

	>	1	; > 2√	; > 2 и	=	ρ	< 0,5,

2		√

где ρ = √ – характеристическое сопротивление контура, а Q = ρ – его

добротность.

Таким образом, в рассматриваемом случае контур имеет значительные потери, т.е. является низкодобротным.

При этом корни (5.25) имеют следующий вид:

	= −δ + √δ2 − ω	2 = −α ,		= −δ − √δ2 − ω	2 = −α ,
1	0	1	2	0	2

где 1, 2– отрицательные вещественные числа, и α1 < α2.

Рис. 5.40. Расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости в апериодическом режиме

Корни являются вещественными отрицательными числами.

Покажем расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (рис. 5.40).

Подставляя эти корни в (5.29), получим решение для функции напряжения на емкости:

u (t) u

(t)

( α e α2t α

e α1t );

α1 +α2

св

i(t) C

duC

(e α2t e α1t );

L( α α

)

(t)

( α

e α2t

α e α1t ).

α1

α2

Качественный

график

полученной

функции uC (t) показан на

рис. 5.41, а. Напряжение на емкости имеет апериодический (неколебательный) характер и представляет из себя монотонно убывающую функцию. Происходит апериодический разряд емкости от начального значения uC(0+) = U0 до нуля.

а) б)

Рис. 5.41. Графики: а) зависимости напряжения на емкости от времени; б) зависимости тока и напряжения на индуктивности от времени

в апериодическом режиме

Качественные графики тока i(t) = iL(t) и напряжения на индуктивности uL(t) приведены на рис. 5.41, б соответственно. При построении этих графиков принималось во внимание то, что в цепи апериодический режим, а также соотношения, связывающие указанные функции с найденной

функцией uС(t). Начальные значения (0+) = 0 и (0+) = − 0 могут быть получены из начальных условий и уравнения Кирхгофа для момента

времени t = 0+:

) ∙ + (0

) + (0

) = 0;

) + (0

) = 0; (0

) = − (0

) = − .

Конечные

или

установившиеся

значения

равны уст( ) = 0;

уст

( ) = 0, потому

что

после

окончания

свободных колебаний цепь

находится в состоянии покоя. Поскольку напряжение на индуктивности пропорционально производной от тока, то оно должно быть положительным во время возрастания тока, отрицательным во время его убывания и равным нулю в момент времени t, когда ток достигает максимума.

Колебательный режим

Колебательный режим возникает при выполнении условия δ < ω0 , а, следовательно:

	<	1	; < 2√	; < 2	и =	ρ	> 0,5,

2		√

Источник: https://studfile.net/preview/16544411/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей