Материал: 5 раздел
5. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Установившиеся и переходные колебания в ЭЦ. Законы коммутации. Начальные условия. Переходные и свободные колебания в цепи с одним реактивным элементом. Свободные колебания в последовательном колебательном контуре.
5.1.Установившиеся и переходные колебания
вэлектрической цепи
Колебания в цепи считаются установившимися (стационарными), если все токи и напряжения в цепи являются постоянными величинами или периодическими функциями времени (в частности гармоническими). Режим покоя, когда все токи и напряжения в цепи равны нулю, также считается установившимся.
В режиме установившихся колебаний каждый ток или напряжение имеет постоянную величину (режим постоянного тока) (рис. 5.1, а) или постоянные амплитуду, частоту и начальную фазу (режим гармонического тока) (рис. 5.1, б).
а)
б)
Рис. 5.1. Графики тока в режиме установившихся колебаний: а) режим постоянного тока;
б) режим гармонических колебаний
Переходными колебаниями называются колебания, которые происходят в процессе перехода цепи от одного установившегося режима в другой.
Очевидно, во время переходного процесса токи и напряжения в цепи не могут быть постоянными или периодическими. Поэтому переходные колебания считаются неустановившимися (нестационарными). Задача анализа переходных колебаний заключается в определении переходных токов и напряжений как функций времени ik(t) и uk(t).
Возникновение режима переходных колебаний в цепи может быть обусловлено включением, переключением или внезапным изменением воздействия, а также внезапным изменением параметров цепи с источниками постоянных или периодических воздействий, т.е. обусловлено коммутацией в цепи.
Обычно полагают, что коммутация происходит мгновенно в момент времени t = 0 и осуществляется с помощью идеального ключа, сопротивление которого равно нулю, если он замкнут (рис. 5.2, а), и бесконечно велико, если он разомкнут (рис. 5.2, б).
к = 0 |
к = ∞ |
а) |
б) |
Рис. 5.2. Идеальный ключ:
а) в замкнутом состоянии; б) в разомкнутом состоянии
Общепринято схемы цепей с ключом изображать до момента коммутации.
5.2. Законы коммутации
Любой режим установившихся колебаний характеризуется определенным запасом энергии магнитного и электрического полей в каждый момент времени
|
W |
Lk ik2 (t) |
|
Cl ul2 (t) |
, |
(5.1) |
||
|
|
|
||||||
|
k |
2 |
l |
2 |
|
|
||
где |
( ) – мгновенный ток |
(напряжение) |
в индуктивности |
Lk (на |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конденсаторе ); k и l – индексы суммирования.
В режиме переходных колебаний происходит изменение запасенной в цепи энергии и это изменение не может происходить скачкообразно (мгновенно), так как скачкообразное изменение энергии потребует
бесконечно больших мощностей = в цепи, что лишено физического
смысла.
На основании этого вывода и соотношения (5.1) могут быть сформулированы два закона коммутации при конечных по величине воздействиях в цепи.
1. Ток в любой индуктивности является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком, в частности, для момента коммутации t = 0
(0 |
+ |
) = (0 |
− |
) = (0), |
(5.2) |
|
|
|
|
где = 0− – момент времени непосредственно предшествующий моменту коммутации; = 0+ – момент времени сразу после мгновенной коммутации.
2. Напряжение на любой емкости является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком, в частности, для момента коммутации
(0 |
+ |
) = (0 |
− |
) = (0), |
(5.3) |
|
|
|
|
Таким образом, токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в начальный момент = 0+ после коммутации имеют те же значения, что и непосредственно перед коммутацией при = 0− и затем плавно изменяются. Заметим, что токи и напряжения на резистивных сопротивлениях, а также токи через емкости и напряжения на индуктивностях могут изменяться скачкообразно, так как с ними непосредственно не связана запасаемая в цепи энергия.
5.3. Начальные условия
Значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т. е. в начальный момент, образуют независимые начальные условия задачи. Независимые начальные условия определяют начальный запас энергии в цепи. Различают задачи с нулевыми начальными условиями, когда для всех емкостей (0+) = 0 и для всех индуктивностей(0+) = 0, и с ненулевыми, когда указанные требования нарушаются хотя бы в одном из реактивных элементов. Независимые начальные условия могут быть заданы или рассчитаны с применением законов коммутации.
Начальные значения токов в ветвях без индуктивностей или напряжений на элементах, не являющихся емкостями, называются зависимыми начальными условиями. Они определяются по независимым начальным условиям с применением законов Кирхгофа или других методов расчета для момента времени = 0+.
Пример 5.3.1 |
|
|
|
|
|
Для цепи, представленной на |
|||
|
рис. 5.3, определить начальные |
|||
|
значения |
всех |
токов. |
До |
|
коммутации |
в |
цепи |
был |
|
установившийся |
|
режим |
|
|
постоянного |
тока. |
Параметры |
|
|
цепи: U0 = 10 В; |
|
|
|
|
R1 = R2 = R3 = R4 = 100 Ом; |
|
||
Рис. 5.3. Схема электрической цепи |
C = 10-6 Ф; L = 10-3 Гн. |
|
||
Для определения независимых начальных условий воспользуемся
законами коммутации (0+) = (0−) и (0+) = (0−). Для этого изобразим схему в установившемся режиме постоянного тока до
коммутации, в которой емкости должны быть представлены в виде обрыва а индуктивности – в виде короткого замыкания (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Схема в установившемся режиме постоянного тока до коммутации
Поэтому
1(0−) = 2(0−) = |
0 |
|
|
= 0,04 А, а |
|
+ + |
3∙ 4 |
|
|||
|
|
|
|||
|
1 2 |
|
+ |
||
|
|
3 |
4 |
|
|
Как видно из этой схемы искомое напряжение (0−) равно напряжению на резисторе R2 , а искомый ток равен току через резистор R3 со знаком минус.
Резисторы R1 и R2 оказались соединены последовательно, а R3 и R4 – параллельно и вместе указанные пары образуют последовательное соединение с источником напряжения.
(0−) = 2 ∙ 2(0−) = 4 В.
Поскольку параллельно соединенные резисторы R3 и R4 равны, то и токи через них равны, и в сумме они должны составить 2(0−) согласно первому закону Кирхгофа. Следовательно, 3(0−) = 0,5 ∙ 2(0−) = 0,02 А, а
(0−) = − 3(0−) = −0,02 А. Таким образом, (0+) = (0−) = −0,02 А;
(0+) = (0−) = 4 В.
Для определения начальных значений других токов и напряжений необходимо изобразить схему после коммутации для момента = 0+ (рис. 5.5), в которой известны независимые начальные условия, и для нее по законам Кирхгофа произвести расчет искомых токов и напряжений.
Рис. 5.5. Схема после коммутации для момента = 0+
Рис. 5.6. Иллюстрация использования теоремы замещения для момента = 0+
На основании законов Кирхгофа получим:
2(0+) = − (0+) = 0,02 А;1(0+) = 3(0+) = (0+) + 2(0+);1(0+) ∙ 1 + 3(0+) ∙ 3 =
= 0 − (0+) = 6 В.
Решение полученной системы дает следующие результаты:
1(0+) = 3(0+) = 0,03 А;2(0+) = 0,02 А; (0+) = 0,01 A.
Те же результаты можно получить, если в схеме для = 0+ емкость представить источником
напряжения (0+), а индуктивность – источником тока
(0+) (согласно известной теореме замещения) (рис. 5.6).
5.4. Классический метод анализа переходных колебаний
Классический метод анализа переходных колебаний основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∙ |
|
; |
|
= ∙ |
|
; |
|
= ∙ ; |
||||
С |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
α |
= 0, α |
= ±1 ; ∑ β |
= 0, β |
|
= ±1. |
||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений путем исключения остальных переменных приводят к одному линейному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами: