Материал: 539
Решение приведено в табл. 7.1.
|
|
|
Таблица 7.1 |
|
|
|
|
Год |
Денежный |
1/(1+r)k |
Приведенный |
|
поток |
|
поток |
1 |
12 |
0,8929 |
10,71 |
2 |
15 |
0,7972 |
11,96 |
3 |
9 |
0,7118 |
6,41 |
4 |
25 |
0,6355 |
15,89 |
Всего |
61 |
- |
44,97 |
|
|
|
|
7.2. Оценка потока пренумерандо
Элементы потока пренумерандо относятся к началам временных
периодов, поэтому будущая стоимость величины Ck равна |
Ck (1 r)n k 1 ,а |
|||||||
сегодняшняя стоимость величины Ck равна |
|
Ck |
. Тогда |
|
||||
(1 r)k 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
(1 r)n k 1 FVpst |
|
|
||||
FVpre |
Ck |
(1 r), |
(7.3) |
|||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
Ck |
|
|
|
|
|
|
FVpre |
|
|
PVpst |
(1 r). |
(7.4) |
|||
|
k 1 |
|||||||
|
k 1 (1 r) |
|
|
|
||||
Если в предыдущем примере предположить, что исходный поток есть поток пренумерандо, его приведенная стоимость равна
PVpre PVpst (1 r) 44,97 1,12 50,37 тыс. руб.
7.3. Оценка аннуитетов
Аннуитет – это денежный поток, в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине. Если число временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным.
Как и в общем случае, выделяют два типа аннуитетов: постнумерандо и пренумерандо (рис. 7.2).
A A A A A A A A
0 1 2 n- n 0 1 2 n- n
Аннуитет пренумерандо |
Аннуитет постнумерандо |
|
Рис. 7.2 |
Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах
регулярного поступления А и процентной ставки r — это задача вычисления будущей стоимости аннуитета. Например, для аннуитета постнумерандо имеем (общая формула упрощается из-за постоянства величины А):
n |
n k |
|
|
FVpst A (1 r) . |
|
(7.5) |
|
k 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
Но сумма S (1 r)n k |
1 (1 r) (1 r)2 |
... (1 r)n |
это |
k 1
сумма п членов геометрической прогрессии со знаменателем q = (1 + r) и первым членом, равным единице. Следовательно,
1 qn |
|
(1 r)n 1 |
|
||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
; |
(7.6) |
|
|
|
r |
|
|
||||
|
1 q |
|
|
|
|
|
|||
FVpst |
A |
(1 r)n |
1 |
|
|||||
|
|
|
. |
(7.7) |
|||||
|
r |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.
Имеется возможность сдать в аренду участок земли сроком на три года. Нужно выбрать лучший из двух предложенных вариантов:
а) в конце каждого года получать арендную плату в размере 50 тыс.
руб.;
б) в конце трёхлетнего периода получить 175 тыс. руб.
Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых?
Решение.
Первый вариант оплаты представляет собой аннуитет постнумерандо при n=3 и A=50 тыс. руб. Имеется возможность инвестировать ежегодный арендный платеж в банк как минимум на условиях 20% годовых. Через 3 года накопленная сумма составит
FVpst 50 (1,23 1)/0,2 50 3,64 182 тыс. руб.
Этот вариант более выгоден, чем вариант б).
Формула для оценки текущей стоимости (дисконтирования) срочного аннуитета постнумерандо также получается из основной формулы и имеет вид
|
|
n |
1 |
|
|
|
||
PVpst |
A |
|
. |
(7.8) |
||||
|
k |
|||||||
|
|
k 1 (1 r) |
|
|
|
|||
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Сумма S1 |
|
|
это снова сумма п членов геометрической |
|||||
(1 r)k |
||||||||
k 1 |
|
|
|
|
||||
прогрессии со знаменателем q = (1 + r)-1. Таким образом,
S1 (1 r) |
1 |
1 (1 r) n |
1 (1 r) |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
(7.9) |
|
|
1 (1 r) |
1 |
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 (1 r) |
n |
|
||
PVpst |
A |
|
|
. |
(7.10) |
r |
|
||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисконтированная стоимость |
потока |
из предыдущего примера |
|||
составляет PVpst 50 (1 1,2 3)/0,2 50 2,106 105,324 тыс. руб.
Соответствующие расчетные формулы для аннуитета пренумерандо таковы:
|
|
|
|
(1 r)n |
1 |
|
|||
FVpre |
FVpst |
(1 r) A |
|
|
|
(1 r); |
7.11) |
||
r |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
1 (1 r) |
|
||||||
PVpre |
PVpst |
(1 r) A |
|
|
|
|
(1 r). |
(7.12) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
Пример 3.
Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. руб. Банк платит 20% годовых. Какая сумма будет на счёте по истечении трёх лет?
Решение.
В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого предлагается оценить.
FV= 10 (1 + 0,2)[(1 + 0,2)3 - 1]/0,2 = 10 1,2 3,64 = 43,68 тыс. руб.
Пример 4.
Имеется возможность инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 тыс. руб.). По истечении 5 лет выплачивается премия в размере 30 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчёта 12% годовых?
Решение.
При депонировании денег в банк к концу пятилетнего периода на счету будет сумма FV= Р(1 + r)5 = 100 (1 + 0,12)5 = 176,234 тыс. руб.
Во втором варианте, когда вложенная сумма возвращается частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. руб. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Например, эти суммы можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае может быть представлен, например, как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20; п= 5; r= 0,12 плюс единовременное получение суммы в 30 тыс. руб. Из формулы (7.7) имеем
FV1 = 20 [(1 + 0,12)5 - 1]/0,12 + 30 = 20 6,353 + 30 = 157,057 тыс. руб.
Принимать это предложение нецелесообразно.
По выведенным нами формулам (7.7)-(7.12) рассчитываются будущая и приведенная стоимость аннуитета, если известны процентная ставка r и число базовых периодов п. Пользуясь этими формулами, можно решать и другие задачи: определять п, зная r и стоимость аннуитета; определять r, зная п и стоимость аннуитета.
Пример 5.
За 10 тыс. долл. можно приобрести некий актив, приносящий по две тысячи долл. ежегодно. Срок действия этого актива ограничен, через некоторое время он теряет стоимость и перестаёт приносить доход. В качестве альтернативы можно поместить деньги в банк под 18% годовых. Каков должен быть срок службы актива, чтобы его покупка была выгодной?
Решим задачу двумя способами.
Способ 1. Найдем будущую стоимость FV1 аннуитета постнумерандо через п лет. Эта сумма не должна быть меньше будущей стоимости FV2 вклада, положенного в банк под 18% годовых.
Р(1 + 0,18)n А[(1 + 0,18)n - 1]/0,18, где P=10’000; A=2’000. Отсюда
5 1,18n |
|
1,18n 1 |
; |
0,9 1,18n 1,18n 1; |
|
|
|||||
|
|
0,18 |
|
10; n ln10 / ln1,18 13,9. |
|
0,1 1,18n |
1; 1,18n |
||||
Так как n – целое, то n 14.
Способ 2. Приведенная стоимость срочного аннуитета постнумерандо должна быть не ниже 10’000 долл. – приведенной стоимости вклада.
A [1 (1 0,18) n ]/0,18 P.
Отсюда
1 |
1 |
0,9; |
1 |
0,1; |
1,18n 10, |
n 14. |
|
1,18n |
1,18n |
||||||
|
|
|
|
|
Пример 6.
Банк ссудил 80’000 долл. под 15% годовых (проценты начисляются на невозвращённый остаток долга). Ссуда погашается в течение 10 лет равными частями. Какова сумма ежегодного взноса?
Решение.
Требуется определить величину А аннуитета постнумерандо, если r=0,15; n=10; PV=80’000.
Тогда 80’000 A [1 (1 0,15) 10 ]/0,15.
A80'000 0,15/[1 (1 0,15) 10] 15'940,17долл.
Втабл. 7.2 приведена схема амортизации ссуды (постепенного погашения ссуды равномерными взносами). Каждый взнос разложен на две части: выплата части основной суммы долга и выплата процентов, причём проценты начисляются на сальдо начала года. В первый год 15% от 80 тыс. долл. составляют 12 тыс. долл., поэтому сумма взноса в конце первого года (15’940 долл.) раскладывается на 12 тыс. процентного платежа и 3’940 долл. выплаты основного долга. Следовательно, долг на начало второго года равен 80’000 - 3‘940 = 76’060 долл. В конце второго года заёмщик выплатит
76’060 0,15 =11’409 долл. процентов и погасит 15’940 – 11’409 = 4’531 долл.
основного долга. И так дальше, до конца десятого года.
Основная сумма долга (principal) сумма денег, которая должна быть выплачена по ссуде без учёта причитающихся процентов.
Таблица 7.2
Конец года |
Сумма взноса, |
Проценты, |
Погашенная часть |
Оставшийся |
|
долл. |
долл. |
долга, долл. |
долг, долл. |
||
|
|||||
1 |
15’940 |
12’000 |
3’940 |
76’060 |
|
2 |
15’940 |
11’409 |
4’531 |
71’529 |
|
3 |
15’940 |
10’729 |
5’211 |
66’318 |
|
4 |
15’940 |
9’948 |
5’992 |
60’326 |
|
5 |
15’940 |
9’049 |
6’891 |
53’435 |
|
6 |
15’940 |
8’015 |
7’925 |
45’510 |
|
7 |
15’940 |
6’826 |
9’112 |
36’396 |
|
8 |
15’940 |
5’459 |
10’481 |
25’915 |
|
9 |
15’940 |
3’887 |
12’053 |
13’862 |
|
10 |
15’940 |
2’079 |
13’862 |
0 |
Ясно, что в первые годы выплачиваются главным образом проценты по долгу, тогда как в конце в основном погашается сам долг.
Такой финансовый контракт можно представить в виде следующей схемы (рис. 7.3). Схема показана с позиции кредитора, когда первоначальый отток денежных средств возмещается регулярными поступлениями.
A A A A A A A A A A
0
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
80’000 долл. |
Рис. 7.3 |
В качестве последнего примера на эту тему найдём размер суммы, которую нужно положить на счёт в банке, чтобы обеспечить вкладчику поступления в размере 5’000 долл. в течение 10 лет при ставке 8% годовых.
Здесь нужно определить величину PV, если п= 10; r= 0,08; А= 5’000.
Тогда PV=5'000 [1 (1 0,08) 10]/0,08 33'550,4 долл.
Схема такого потока с позиции банка приведена на рис. 7.4.
Депозит
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |