Материал: 539
5.1. Простые проценты
Если обозначить через t продолжительность финансовой сделки (срок платежа), выраженную в долях года, из формулы (2.3) получаем:
t |
S P |
|
|
|
I |
, |
(5.1) |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
P r |
P r |
|
|||||
r |
S P |
|
|
I |
. |
(5.2) |
|||
|
|
||||||||
|
|
P t |
|
P t |
|
||||
Пример 1.
Определить срок ссуды в днях, за который долг, равный 100 тыс. руб., вырастет до 110 тыс. руб., если используется простая процентная ставка 30% годовых. Базисное количество дней в году — 365.
Решение.
По формуле (5.1) находим продолжительность ссуды в долях года
t 110 100 0,33333. 100 0,3
Срок в днях получаем умножением этой величины на 365 (округляем с точностью до дня): 0,3 3333365= l22 дня.
Пример 2.
Найти простую ставку процентов для контракта сроком на 4 месяца, если сумма долга равна 100 тыс. руб., а вернуть нужно 110 тыс. руб.
Решение.
Воспользуемся формулой (5.2)
r 110 100 0,3(30%). 100 4
2
5.2. Простая учётная ставка
Из формулы (4.3) получаем:
t |
S P |
, |
|
(5.3) |
|
|
|
||||
|
S d |
|
|||
d |
S P |
. |
(5.4) |
||
|
|||||
S t
Время t выражено в долях года. Пример 1.
Вексель на сумму 110 тыс. руб. выдан сроком на 122 дня. Определить простую учётную ставку, если полученная под вексель сумма равна 100 тыс. руб. В году 360 дней.
Решение.
d 110 100 0,268 (26,8%). 100 122
360
Пример 2.
Определить срок (в днях) до погашения векселя, если его номинальная стоимость равна 120 тыс. руб., должник получил 100 тыс. руб., а учётная ставка равна 40% годовых. В году 360 дней. Ответ округлить с точностью до одного дня.
Решение.
t 120 100 0,41667 года 150 дней. 120 0,4
5.3. Сложные проценты
Положим, что используется схема сложных процентов, а не смешанная схема. В обозначениях этого раздела
S P (1 r)t ,
где t — время, выраженное в годах. Отсюда
|
|
|
|
S |
|
||||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
||
|
P |
|
|||||||
t |
|
|
|
|
, |
||||
ln 1 r |
|||||||||
|
S |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
t |
|
|
||||||
r |
|
|
|
1. |
|||||
|
|||||||||
|
P |
|
|
|
|||||
(5.5)
(5.6)
Пример 1.
За какой срок сумма, равная 100 тыс. руб., вырастет до 130 тыс. руб., если годовая ставка сложных процентов — 25%, а в году 365 дней?
Решение.
|
130 |
|
|
||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
||||
t |
100 |
|
1,1757 года 429 дней. |
||
ln 1 0,25 |
|
||||
Пример 2.
Долг величиной 150 тыс. руб. нужно погасить через 1,5 года. Первоначальная сумма долга — 100 тыс. руб. Какова годовая ставка сложных процентов?
Решение.
1
150 1,5
r 1 0,31 (31%).100
5.4. Удвоение первоначального капитала и правило 72-х
Положим в формуле (5.5) S 2 P. Тогда
t ln 2 . ln 1 r
Для приближенного оценивания времени t полезно следующее правило: Правило 72-х. Если годовая процентная ставка r не слишком велика, то
первоначальная ссуда удваивается примерно за 72 лет (r выражена в %). r
Пример.
Сравним точные значения времени t и значения, полученные по правилу 72-х для нескольких значений r (табл. 5.1) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r (доли и |
|
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
|
0,1 |
|
||||
проценты) |
|
(3%) |
(4%) |
(5%) |
(6%) |
(7%) |
(8%) |
(9%) |
|
(10%) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
ln(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln(1 r) |
|
23,4 |
17,7 |
14,2 |
11,9 |
10,2 |
9,0 |
8,0 |
|
7,3 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
72 |
|
|
|
24,0 |
18,0 |
14,4 |
12,0 |
10,3 |
9,0 |
8,0 |
|
7,2 |
|
|
r |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r (доли и |
|
0,12 |
0,15 |
0,16 |
0,18 |
0,2 |
0,24 |
0,3 |
|
0,36 |
|
||||
проценты) |
|
(12%) |
(15%) |
(16%) |
(18%) |
(20)%) |
(24%) |
(30%) |
|
(36%) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t |
ln(2) |
|
|
6,1 |
5,0 |
4,7 |
4,2 |
3,8 |
3,2 |
2,6 |
|
2,3 |
|
||
ln(1 r) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
72 |
|
|
6,0 |
4,8 |
4,5 |
4,0 |
3,6 |
3,0 |
2,4 |
|
2,0 |
|
||
r |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r (доли и |
|
0,4 |
0,45 |
0,5 |
0,6 |
0,72 |
0,8 |
0,9 |
|
1,0 |
|
||||
проценты) |
|
(40%) |
(45%) |
(50%) |
(60%) |
(72%) |
(80%) |
(90%) |
|
(100%) |
|
||||
t |
ln(2) |
|
|
2,1 |
1,9 |
1,7 |
1,5 |
1,3 |
1,2 |
1,1 |
|
1,0 |
|
||
ln(1 r) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
72 |
|
|
1,8 |
1,6 |
1,44 |
1,2 |
1,0 |
0,9 |
0,8 |
|
0,72 |
|
||
r |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из приведённой таблицы видно, что расхождения между точными значениями t и значениями, определёнными по правилу 72-х, очень незначительны. Правило 72-х даёт достаточно большую относительную погрешность (не менее 15%), когда r>0,4.
5.5. Реальная ставка доходности с учётом инфляции и налогообложения
Инфляция — это снижение покупательной способности денег вследствие роста денежной массы, не компенсированного встречным ростом потока товаров и услуг. В классическом финансовом анализе деньги рассматриваются сами по себе, вне их связи с товарами и услугами, которые на деньги покупают. Поэтому обычная теория процентных ставок не учитывает обесценение денег из-за инфляции.
В реальности же инвестор согласится только на такую ставку доходности, которая обеспечивает прибыль с учётом темпов инфляции.
Уровень инфляции оценивается при помощи различных индексов цен, своих для каждой из отраслей народного хозяйства. Индекс потребительских цен (ИПЦ), например, показывает, во сколько раз в среднем возросли за определённый период времени (месяц, квартал, год) цены на потребительские товары и услуги, покупаемые типичным горожанином. В США «корзина» потребительских товаров и услуг содержит 300 наименований.
Темпом инфляции за определённый период времени t называют относительное изменение цен за этот период.
h |
I p (t) I p (0) |
|
I p |
(t) |
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|||
t |
Ip (0) |
|
I p (0) |
||
|
|
||||
где ht темп инфляции, выраженный в долях; Ip(0), Ip(t) — индексы цен в начале и конце периода, выраженные в долях или процентах.
Если известны индексы цен в начале периода и прогнозируемый темп инфляции за период, то можно вычислить ожидаемый индекс цен в конце периода:
Ip(t)= Ip(0) + Ip(0) ht = Ip(0) (1+ht). |
(5.7) |
Это значение индекса является базовым для вычислений в следующем периоде:
Ip(2 t)= Ip(t) (1+ht) = Ip(0) (1+ht)2 . |
(5.8) |
|||
По прошествии п периодов индекс цен будет равен |
= Ip(0) (1+ht)n . |
|
||
Ip(n t)= Ip((n-1) t) (1+ht) |
(5.9) |
|||
Темп инфляции за этот интервал времени равен |
|
|
||
h |
nt |
(1 h )n 1. |
|
(5.10) |
|
t |
|
|
|
Из формулы (5.9) видно, что рост индекса описывается формулой
сложных процентов. Если известен темп инфляции за какую-либо 1 ю часть m
периода (например, года), то темп инфляции за период (например, год) задаётся формулой
|
I p(1) |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h |
|
1 |
1 h1 |
|
1. |
(5.11) |
||
I p(0) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m |
|
|
||
Пример.
Месячный темп инфляции составляет 5%. На сколько процентов и во сколько раз вырастут цены:
а) за полгода, б) за год? Решение.
Месячный темп инфляции h1 0,05.
12
а) Полугодовой темп инфляции равен
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
1 1,056 |
1 0,34 (34%). |
|
1 h 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
12 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
б) Годовой темп инфляции составляет
|
|
|
|
12 |
|
h |
|
|
|
|
1 1,0512 1 0,796 (79,6%). |
1 h 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|||
|
|
|
|
||
За полгода цены в среднем вырастут на 34%, или в 1,34 раза. За год цены вырастут в среднем на 79,6%, или в 1,796 раза.
5.6. Реальная ставка доходности и инфляционная премия
Дефлятированием стоимостных величин называется деление стоимостей на подходящий индекс цен, вследствие чего устраняется влияние инфляции и стоимостные величины становятся сравнимыми между собой, выраженными в так называемых постоянных денежных единицах.
Если Р — инвестированная сумма в момент времени 0; S — наращенная сумма через период t; Ip(t) — индекс цен в момент времени t в сравнении с моментом времени 0 (следовательно, индекс цен в момент времени 0 равен 1), то реальной ставкой доходности финансовой операции называется величина
|
|
|
|
|
|
S |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
rRе |
|
|
I p (t) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
P |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как |
r , а Ip=1 + ht , то |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
P |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rt |
ht |
|
|
|
|
|||
|
|
r |
Rе |
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 h |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||
(5.12)
(5.13)
Здесь наращенная сумма S продефлятирована, чтобы её можно было сравнить с инвестированной суммой Р. Если период равен одному году, то индекс t опускается, h — это годовой темп инфляции, а r — годовая процентная ставка.
Формула (5.13) показывает, насколько неверно распространённое заблуждение, что для расчета реальной ставки доходности достаточно из