Материал: 5561

УДК 517.9 ББК В 1

Т 45

Тиунчик М. Ф. Практикум по дифференциальным уравнениям : учеб. пособие / М. Ф. Тиунчик, Ю. Г. Саяпина. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2010. – 92 с.

Рецензенты: Е. Г. Агапова, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики ТОГУ; А. И. Ивлева, канд. физ.-мат. наук, доцент Хабаровского пограничного

института Федеральной службы Российской Федерации

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве учебного пособия

©Тиунчик М. Ф., Саяпина Ю. Г., 2010

©Хабаровская государственная академия экономики и права, 2010

2

Введение

Дифференциальные уравнения как самостоятельная дисциплина на современном этапе является наукой, имеющей разнообразные приложения как в самой математике, так и в физике, химии, экономических, социологических науках. Большинство вопросов сводятся к следующей задаче: найти функцию у, имея некоторое уравнение, в которое, кроме этой функции и аргументов, от которых она зависит, входят также её производные до некоторого порядка. Если искомая функция при этом зависит лишь от одного аргумента, такое уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением.

Для основных экономических специальностей обыкновенные дифференциальные уравнения изучаются как раздел в общем курсе математики. Настоящее учебное пособие содержит весь материал, предусмотренный по данному разделу соответствующими государственными стандартами. Кроме того, оно может быть использовано студентами специальности «Математические методы в экономике», которые изучают дифференциальные уравнения отдельной дисциплиной.

В учебном пособии приведены основные теоретические сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Рассмотрена тема «Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме». Приведены задачи на составление и решение дифференциальных уравнений, в основном экономического содержания. Весь материал иллюстрируется примерами.

Авторами составлены тридцать вариантов индивидуальных заданий. Каждое типовое задание состоит из десяти упражнений. Вариант в полном объёме выдаётся студентам специальности «Математические методы в экономике». Для остальных специальностей вариант выдаётся не в полном объёме, а только по тем темам раздела, изучение которых предусмотрено соответствующим стандартом в общем курсе математики.

3

Общие понятия о дифференциальных уравнениях

Уравнение, в которое входят производные неизвестной функции, называется дифференциальным. Если эта искомая функция зависит лишь от одного аргумента, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же неизвестная функция является функцией нескольких независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный

(наивысший) порядок входящей в него производной неизвестной функции. Примерами обыкновенных дифференциальных уравнений являются

уравнения с неизвестной функцией у = у(х) :

При этом первое из них – третьего порядка, второе и третье – второго порядка, а четвёртое – первого порядка. Из примеров видно, что сама функция и некоторые её производные в записи уравнения могут отсутствовать (см. примеры 2 и 3), но обязательно наличие старшей производной при указанном порядке уравнения.

Примером дифференциального уравнения в частных производных является уравнение второго порядка

с неизвестной функцией y = y(x1, x2) двух переменных.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция,

при подстановке которой в уравнение (с учётом входящих в него производных) получится тождество.

Например, решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

где с – произвольная постоянная. Таким образом, это уравнение имеет бесконечное множество решений.

В дальнейшем здесь будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения.

1 Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

представляет собой

Вравенстве (1.1) F есть известная функция трёх переменных, т.е. это соотношение связывает три переменные величины: независимую переменную х, неизвестную функцию у(х) и её производную y′(х).

Внекоторых случаях уравнение (1.1) можно однозначно разрешить относительно производной у′, т.е. представить в виде

дифференциальным уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Это уравнение, как и (1.1), рассматривают на некотором промежутке изменения аргумента х; например, на отрезке [a, b]. Часто эти уравнения рассматриваются на множестве (–∞, +∞), т.е. на всей координатной прямой Ох.

Уравнение (1.2) более доступно для изучения, чем дифференциальное уравнение общего вида (1.1). Так, воспользовавшись равенством dy = y′dx, его можно представить в виде

где P и Q – конкретные функции двух переменных.

Уравнение (1.4) будем называть дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Самым простым примером дифференциального уравнения вида (1.2) является уравнение

у′ = f(x),

5