Документ: 5561, страницы 81-85 | База учебных материалов

Вариант 20

1.1 dy 2x dx 0 . y 1 x2

2.x dy = y ln y dx.

3.x(x – y)dy + y2dx = 0.

			y2		2 y
4.	4			dx			dy 0 .
			x2			x
5.	y	y tg x x cos x .
6. y(0) = 2.
7.	y	8y		16 y		0 .
8.	y(0) = 1,			y (0)		6 .
9.	y	6 y 9 y f (x);

1) f(x) = x2 – 2; 2) f(x) = 5xe-3x ; 3) f(x) = xe-3x sin 3x.

10. Материальная точка движется по прямой со скоростью, а) прямо


пропорциональной, б) обратно пропорциональной пройденному пути s				s t с
коэффициентом пропорциональности k . Согласно механическому				смыслу
производной скорость материальной точки представляет собой				первую
производную функции s s t по переменной t :	s	ds	. В начальный

		dt

момент времени материальная точка имела скорость υ0 = 4 м/с и находилась на расстоянии 6 метров от начала отсчёта пути, то есть s 0 6 и 0 4 м/с. Составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение величины пути s s t от времени t . Определить пройденный путь и скорость тела (рассмотреть случаи а) и б) ) через 15 секунд после начала движения.

	dx	2x 5 y;

11.	dt
	dt
	dy
	dy	3x 4 y.

	dt
	dt

81

Вариант 21

1. 1y dy 1x dx .

2. (1 + x)dy – (1 + y2)dx = 0.

3.y3dy + (3xy2 + 2x3)dx = 0.

4.e-ydx + (y – xe-y)dy = 0.

5.	y		y сtg x	1		.

				sin x
6. y(			) = π.
6. y(		2	) = π.
7.	y		y 12 y	0 .
8.	y(0) = 10, y (0)				16.
9.	y		2 y 10 y f (x) ;
	1) f(x) = x + 10;					2) f(x) = (x2 + 1)ex ;	3) f(x) = ex cos 3x.

10. В рамках некоторого экономического процесса предполагают, что доход

Y t , полученный к	моменту	времени	t определённой отраслью,	является
суммой инвестиций	I t и	величины	потребления C t , Y t = I	t + C t .

Предполагают, что произведение скорости увеличения дохода на коэффициент капиталоёмкости прироста дохода b пропорционально величине инвестиций, т.е. b Y t I t . Напомним, что под капиталоёмкостью понимают показатель, характеризующий отношение основного капитала к произведённой в соответствующий период продукции или её части – чистому доходу, прибыли. Капиталоёмким считается производство, где наибольший удельный вес в полных издержках продукции имеет амортизационная составляющая. Найти

функцию дохода y				y t , если известно, что величина потребления задаётся
функцией C			et 1;	коэффициент капиталоёмкости прироста дохода b 1 4 ,
y(0) 5 .
	dx	x	4 y;

11.	dt
	dt

	dy	2x 3y.
	dt	2x 3y.
	dt
		82

Вариант 22

1.	dy	sin x dx 0.
	y

2.x dy = – y dx.

3.(x2 + y2)y dy + 2xy2 dx = 0.

4.e5xy dx + ( 15 e5x + y2 + 1)dy = 0.

5.	y	6	y	5		.

		x			x6
6. y(1) = 6.
7.	y	8y		25y			0 .
8. y(0) = 3, y (0)							3.
9.	y	3y 10 y f (x) ;
	1) f(x) = 2x3 + 3x + 5;							2) f(x) = 3xe5x ;		3) f(x) = 2xe-2xsin x.
10. Пусть задана некоторая кривая y									x . Для произвольной точки x; y на

данной кривой может быть задано уравнение касательной. Из геометрического смысла производной известно, что угловой коэффициент касательной равен

значению производной функции y	x в	точке x (т.е. k	dy	). Каждая

			dx
касательная к этой кривой пересекает прямую		y 1 в точке с абсциссой, равной

удвоенной абсциссе точки касания. Располагая условиями задачи, составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая и найти

y	x . Найти конкретную кривую y	x , если известно, что она проходит
через точку 1, 2 .

	dx	4x 3y;

11.	dt
	dt
	dy
	dy	5x 6 y.

	dt
	dt

83

Вариант 23

1. dy	1				dx .


	1		x2
2. x dy –		y		dx = 0.
2. x dy –				dx = 0.
		ln x

3.(x – y)dy – y dx = 0.

4.(3x2y + 5y + 1)dx + (x3 + 5x + y)dy = 0.

5.	y		1				y	etg x .


				cos2 x
6. y(			) =		1	πe.
6. y(			) =			πe.
		4	4
7.	y			7 y		10 y		0 .
8.	y(0) = 6,					y (0)		15.
9.	y			4 y 4 y f (x) ;
	1) f(x) = 2x3 + 3x2 + 1; 2) f(x) = (7x + 5)e2x ; 3) f(x) = xe2xsin x.
10. Пусть							t	скорость грузового судна в момент времени t . Согласно

второму закону Ньютона произведение массы тела m на его ускорение a равно силе F t , действующей на грузовое судно ( m a F t ). Отметим, что ускорением тела называют первую производную его скорости по времени, то

есть а		d	. Судно замедляет своё движение под				действием сопротивления

		dt
воды	F t ,		которое	пропорционально его		скорости		с коэффициентом
пропорциональности k				k 0 . Напомним,		что	сила	направлена против
движения (на уменьшение скорости): F t					k	t	. Найти закон изменения

скорости как функции времени; найти t , если 0 2 (м/сек.).

	dx	7x 3y;

11.	dt
	dt
	dy
	dy	14x 8 y.

	dt
	dt

84

Вариант 24

1.	2	dy	dx		0 .


	y			x

2. y(1 + x2)dy = (1+ y2)dx.

3.	y		x	y	.
3.	y				.
			x	y
4. (2xey + y)dx + (x2ey +x + y2)dy = 0.
5.	y y sin x = ecos x.
6. y(0) = e.
7.	y	10 y			25y	0 .
8.	y(0) = 2, y (0)					12.
9.	y	6 y 10 y f (x) ;
	1) f(x) = 7x2 + 5x + 3; 2) f(x) = (x + 7)e4x ; 3) f(x) = xe-3xcos x.
10. Пусть задана некоторая кривая y							x . Для произвольной точки x; y на

данной кривой может быть задано уравнение касательной. Из геометрического смысла производной известно, что угловой коэффициент касательной равен

значению производной функции y	x в точке x (то есть k	dy	). Каждая

		dx

касательная к этой кривой пересекает прямую y 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания. Располагая условиями задачи составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая и найти

y	x . Найти конкретную кривую y	x , если известно, что она проходит
через точку 0, 1 .

		dx	2x 2 y;

11.		dt
		dt
		dy
		dy	3x	y.

		dt
		dt
						Вариант 25
		y	dy		dx
1.						.
1.	1 y2				x	.

2. x dy – y dx = 0.

85

Материал: 5561

Смотрите также: