Материал: 5561

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			Решение. Уравнение является однородным, так как в правой части
равенства стоит функция переменной																																							y	. С помощью замены (3.3)																														уравнение
равенства стоит функция переменной																																							x	. С помощью замены (3.3)																														уравнение
																																							x
принимает вид u																							x		du							1						. Преобразуя и разделяя переменные, получаем
принимает вид u																							x		dx				1							u		. Преобразуя и разделяя переменные, получаем
																									dx				1							u
1		u du								dx
																.
1	u			u 2								x				.
Проинтегрируем левую часть последнего равенства:
																																				u2					u 1 u2												2 u							1						1				5			u	1 2				5
																																																												1						1				5				1 2				5
	1				u du															1						u du
	1				u du															1						u du																																		2					4		4							2				4

	1			u				u2												u2						u			1																1											1
	1			u				u2												u2						u			1							z				u					1		,			u			z			1		,				dz							du
																																				z				u			2				,			u			z	2				,				dz							du
																																											2											2
				1				z					1															z			1																																											d z			2	5
																																																																													2
																																																z						1									dz								1							4
													2				dz												2						dz																	dz


																																																			5																5											5
						z2					5																z2					5													z2						5			2							z2						5				2				z2			5
						z2			4																		z2					4													z2				4												z2						4								z2			4
									4																							4																	4																		4											4

																z					5
	1			1						ln						z				2										1			ln				z		2			5							1				ln	2z						5								C				1		ln		u	2	u 1
	1			1																2										1									2			5							1					2z						5												1					2
	2 2																												2											4																															2
						5									z						5																							2 5										2z						5
						5															5																							2 5										2z						5
				2																2
				2																2
														u						1

								2																					5													1

	1																			2																																	u 1												1						2 u 1							5

						ln																												C												ln			u 2																					ln									C .
																				1																				2
2 5														u																																														2					5						2 u			1				5
2 5								2																					5																															2					5						2 u			1				5
								2												2									5
																				2
Возвращаясь к дифференциальному уравнению, получаем

								1				ln						u 2						u 1											1					ln			2 u 1												5
								1																											1								2 u 1												5		= ln							x		+ ln С1 (С1 > 0).
								2
																						y										2			5								2 u						1					5
																																2			5								2 u						1					5
Учитывая, что u																								, окончательно имеем
Учитывая, что u																						x		, окончательно имеем
																						x
																																									y

	1						y		2										y										1									2									1						5
		ln							2											1																		2			x						1						5

																																		ln																				= ln					С x						.
																																		ln																				= ln					С x						.
	2						x												x					2					5												y																			1

																																						2									1						5

																																									x

Получено решение в неявном виде.

4 Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

P x, y dx Q x, y dy 0 ,

(4.1)

если существует такая функция u = u(x, y) двух переменных, полный дифференциал которой представим в виде

du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

Тогда уравнение (4.1) принимает вид

du(x, y) = 0.

Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является выражение

u(x, y) = С,

(4.2)

где С – произвольная постоянная.

Известно, что для того чтобы левая часть уравнения (4.1) являлась полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Эйлера

Р	Q	.	(4.3)

y	x

Если условие (4.3) выполнено, то

du = Pdx + Qdy.

С другой стороны, из определения полного дифференциала функции u имеем равенство

du	u	dx	u	dy .

	x		y

Из этих двух равенств получаем следующую систему уравнений в частных производных:

	u	P,

	x
	x
	u	Q.

	y
	y

Проинтегрируем первое равенство системы по переменной х:

u(x, y) P(x, y)dx C( y) ,

(4.4)

где С(y) – произвольная функция переменной у. Для нахождения функции С(y)

дифференцируем равенство (4.4) по у; при этом учитываем, что	u	Q :

	y
	y

P(x, y)dy C ( y) Q(x, y) .

Из последующего уравнения определится С′(y), а затем интегрированием по у найдётся С(y).

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

2x2 4 y2 dx 8xy 1 dy 0 .

	Решение. Так как P x, y 2x2	4 y2 , Q x, y 8xy	1, то		P	8 y ;

					y
					y
Q	8 y . Следовательно, выполняется	условие (4.3), и	это	уравнение

x
x

действительно является уравнением в полных дифференциалах. Для искомой

функции u x, y

имеем

2x2

4 y2

8xy 1. Из первого уравнения

получаем

u x, y

2x3

4 y2 x C y . Дифференцируем последнее равенство

по y :

=8xy + С′(y). Учитывая,

что

=8xy + 1, имеем С′(y) = 1. Отсюда

С y

u x, y =

2x3

4 y 2 x

. Общий интеграл запишется в виде

2x3

4 y 2 x

C .

5 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка

называется уравнение, в которое неизвестная функция и её первая производная

входят в первой степени:
y p x y q x .	(5.1)

Существуют два метода решения уравнения (5.1): метод Бернулли (метод подстановки) и метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

Метод Бернулли (метод подстановки)
Решение уравнения (5.1) ищется в виде
y = uv,	(5.2)

т.е. в виде произведения двух неизвестных дифференцируемых функций u =

u(x) и v = v(x). Подставляя функцию (5.2) и её производную
y′ = u′v + uv′
в уравнение (5.1), в результате получим:
u′v + u[v′ + p(x)v] = q(x).		(5.3)
Подберём какую-нибудь функцию v, чтобы выражение в квадратных
скобках последнего равенства равнялось нулю:
v′ + p(x)v = 0.		(5.4)
		p(x)dx C1 .
Разделяя в (5.4) переменные и интегрируя, получим ln	V

Так как нам нужно иметь одну из функций v, удовлетворяющих (5.4), то можно положить С1 = 0. Тогда

V	e p ( x ) dx .		(5.5)
Подставим найденную функцию v(x) в (5.3). В результате приходим к
дифференциальному уравнению
u e	p(x)dx	q(x)	(5.6)

с разделяющимися переменными относительно другой неизвестной функции u(x). Решением уравнения (5.6) является функция

u q(x)ep(x)dxdx C , (5.7)

где С – произвольная постоянная.

Подставляя найденные функции u и v (см. (5.5) и (5.7)) в равенство (5.2), получаем общее решение дифференциального уравнения (5.1) в следующем виде:

y Ce p(x)dx e p(x)dx q(x)e p(x)dxdx .

(5.8)

Однако при решении конкретных примеров не рекомендуется использовать равенство (5.8). Обычно действуют по изложенной выше схеме.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения y′ + y cos = e– sin x.

Решение. Применяем замену (5.2), дифференцируем функцию y(x), подставляем её и производную в искомое уравнение. В результате приходим к уравнению

u′v + u[v′ + v cos x] = e– sin x.

Теперь подбираем функцию v, являющуюся одним из решений уравнения v′ + v cos x = 0. Разделяем в последнем уравнении переменные:

			dV	cos x dx .

			V
			V
		sin x c . Полагая с1 = 0, находим, что			V	e sin x . За v(x) возьмём
Тогда ln	V	sin x c . Полагая с1 = 0, находим, что			V	e sin x . За v(x) возьмём
		1

функцию v = e– sin x.

Функция u(x) определится из равенства

u′e– sin x = e– sin x.

Тогда u′ = 1 или du = dx. Таким образом, u = x + C.

Перемножая функции u и v, окончательно получим, что общее решение исходного уравнения таково:

y = Сe– sin x + xe– sin x.

Уравнение (5.1) при q(x) ≠ 0 называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка, а при q(x) 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Линейное однородное уравнение

y′ + p(x)y = 0 (5.9)

является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому

	dy	p(x)dx .

	y
	y

Интегрируя последнее равенство, получаем

ln	y	p(x)dx lnC1 (С1 > 0).
		15

Источник: https://studfile.net/preview/16711221/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей