Документ: 5596, страницы 1-5 | База учебных материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

Е.А. Мясников

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Часть 2

Хабаровск 2012

УДК 51 (075.8)

ББК В 11

М 99

Мясников Е. А. Практикум по математическому анализу. Часть 2 : учеб. пособие / Е. А. Мясников. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2012. – 116 с.

Содержание учебного пособия соответствует государственным образовательным стандартам дисциплин «Математика» и «Математический анализ» для бакалаврантов 1-го курса обучения. Предназначено для самостоятельных и аудиторных практических занятий. Включает краткие теоретические сведения, общие схемы решения задач, образцы решения примеров разной сложности, задания для самостоятельной работы.

Составлено для бакалаврантов экономических вузов всех направлений подготовки, может быть полезно студентам, обучающимся заочно, и всем, кто желает изучить или повторить курс математики самостоятельно.

Рецензенты:

А.Г. Зарубин, д-р. физ.-мат. наук, профессор, зав. каф. прикладной математики и информатики ТОГУ;

В.Я. Прудников, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной математики ДВГУПС.

Утверждено издательско-библиотечным советом академии

вкачестве учебного пособия

©Мясников Е.А., 2012

©Хабаровская государственная академия экономики и права, 2012

2

Предисловие

Впособии представлены темы, изучаемые в экономических вузах во 2-м семестре в курсе математического анализа. Цель пособия – помочь студентам в решении стандартных задач.

В1-й части были изложены основы теории пределов, непрерывности и дифференциального исчисления и методы решения задач по этим темам. Во 2-й части показаны важнейшие способы интегрирования функций и методы решения дифференциальных уравнений.

Во 2-й части сохранён тот же принцип, что и в 1-й – постепенное усложнение задач и их строгая систематизация. Двухбуквенный код соответствует параграфу, отдельное задание – очередному вопросу темы, важные частные случаи нумеруются цифрами, однотипные задачи обозначены буквами или просто записаны в одной строке (в случае интегралов).

Ответы к I главе даны только в трёх темах, где основная трудность – арифметические вычисления. К дифференциальным уравнениям ответы даны практически полностью, поскольку этот раздел студентам приходится изучать самостоятельно, а основная трудность решения – многочисленные преобразования.

Варианты заданий для самостоятельных и контрольных работ не предусмотрены, и при необходимости можно составить задание в виде списка номеров задач. Однако лучше, когда задания составляет преподаватель, непосредственно ведущий занятия в группе – он знает и требования, и уровень подготовки.

Цель пособия – не обеспечить преподавателя вариантами, а дать возможность последовательно изложить элементы теории и практического применения математики в работе экономиста.

Попытка учесть на лекции все возможные типы задач и тем более рассказать об их решении занимает почти всё время, при этом студенты забывают, о чём вообще шла речь, а преподаватель, ведущий семинар, непременно желает изложить всё «намного проще и понятнее».

Врезультате остаётся забытой важнейшая цель изучения математики – научиться самостоятельно думать и работать.

Автор надеется, что пособие поможет преодолеть подобные трудности преподавания и изучения дисциплины.

Любые вопросы, замечания и предложения об улучшении пособия можно высказать по адресу: ХГАЭП, ауд. 511, кафедра МММЭ.

3

I. ОСНОВЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1. Табличное интегрирование
Функция F x называется первообразной для функции f x , если F	x	f x
или dF x f x dx . Например, x2 – первообразная для 2x , поскольку	x 2	2x .

Неопределённый интеграл для функции f x– это множество всех её перво-

образных: f x dx F x C . Константа C подчёркивает, что первообразных для

одной и той же функции бесконечно много, но они отличаются только на постоянное число. Например,

x2

3

2x, x2

10 2x, x2

2x ,

поэтому общий вид первообразных для функции f

x

2x

– это

F x

x 2 C .

Значит, 2xdx x2

C .

Аналогично

3x2dx

x3

C , поскольку не только

x3

3x 2 , но и

x3

5 3x2 ,

x3

200

3x2 , x3

ln10

3x2 , и т.д.

Простейшая таблица неопределённых интегралов

1)

n

xn 1

1 ,

7)

dx

ctg x

C ,

x dx

C

n

sin2 x

n

1

2)

dx

ln x

C ,

8)

dx

1

arctg

x

C ,

x2

a2

x

a

3)

a x dx

a x

1 ,

9)

dx

1

ln

x

a

C ,

C

a

0, a

x2

a2

ln a

2a

x

a

4)

cos xdx

sin x

C ,

10)

dx

arcsin

x

C ,

a

a2

x2

5)

sin xdx

cos x

C ,

dx

11)

ln

x

2

A

C ,

x2

A

6)

dx

tg x

C ,

где в интегралах 8 – 10 a

0 .

cos2 x

Эти интегралы называют табличными. Ни один из них не приводится к другому, но любой интеграл, не учтённый в таблице, либо сводится разными методами к указанным, либо вовсе не выражается в элементарных функциях.

4

Трудность интегрирования по сравнению с дифференцированием связана со значительно меньшим набором свойств и правил. Так, справедливы арифметические свойства интегралов

f	x g x dx	f x dx g x dx ;
kf	x dx k f	x dx для любого действительного числа k ,

однако нет (и не может быть) никаких общих формул для интеграла от произведения, частного, а также от сложной функции.

Более того, небольшое изменение функции под знаком интеграла (подынтегральной функции) может заметно изменить ответ или даже метод решения. Сравните интегралы

а)

dx

arctg x

2

C ,

б)

dx

1

C ,

x2

4x 5

x2

4x 4 x 2

в)

dx

1

x

1

C ,

ln

x2

4x

5

6

x

5

г)

dx

1

3

2x 1

C .

ln

x

1

ln

x2

x 5

arctg

4x

5

7

14

x3

7

19

В то же время производные от подынтегральных функций находятся одним и тем же способом и внешне почти совпадают.

Именно поэтому приходится изучать разные методы интегрирования.

Основное правило табличного интегрирования:

Пусть a, b – любые числа и при этом a												0 . Если			f	x dx		F x					C , то
								f ax		b dx	1	F ax		b	C .
								f ax		b dx	a	F ax		b	C .
											a
Пример 1. Известно (1-й табличный интеграл), что																x10dx			1	x11			C . Тогда
Пример 1. Известно (1-й табличный интеграл), что																x10dx				x11			C . Тогда
																			11
3x 7 10 dx			1 1			3x 7 11				C,				8x 5 10 dx			1 1						8x 5 11	C,

			3	11													8			11
			3	11													8			11
4 6x 10 dx			1 1				4 6x 11			C,				x 3 10 dx			1 1					x 3 11		C .

			6		11												1		11
			6		11												1		11
Коэффициент a может быть дробным и (или) отрицательным:
	3x	10		7 1 3x						11			x	10		9 1					x		11
		8 dx							8	C,		4		dx			4						C .
7		8 dx	3 11 7						8	C,		4	9	dx		1 11	4			9			C .

Вместо 1/1 можно не указывать ничего, вместо –9/1 записывать –9.

5

Материал: 5596

Министерство образования и науки Российской Федерации

Кафедра математики и математических методов в экономике

Е.А. Мясников

Хабаровск 2012

Смотрите также: